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初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文第1篇

【關(guān)鍵詞】動(dòng)點(diǎn)最值問題;軸對(duì)稱;最小值;數(shù)形結(jié)合

一、問題原型：

（人教版八年級(jí)上冊(cè)第42頁探究）如圖1-1，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

這個(gè)“確定最短路線”問題，是一個(gè)利用軸對(duì)稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題

二、基本解法：

對(duì)稱共線法。利用軸對(duì)稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動(dòng)點(diǎn)位置，計(jì)算線路最短長度。

三、例題解析與歸納經(jīng)驗(yàn)

例1.要在河邊修一個(gè)小泵站，分別向張村和李莊送水，問水泵站應(yīng)建在河邊的什么地方，可便所用的水管最短？

分析：如何證明兩線段和最短？考慮到初一學(xué)的線段公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”，那么，如何把這兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段呢？此時(shí)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱軸是軸對(duì)稱連線的中垂線。作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'B直線l于P點(diǎn)，此時(shí)，兩線段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。

例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x軸上找一點(diǎn)P，使AP+BP最短。此時(shí)AP+BP的長為_______

分析：（與例1方法相同）過點(diǎn)P作水平線，過點(diǎn)P作垂直于x軸直線，兩直線交于點(diǎn)C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的長為5。

例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。求PM+PB的最小值是________________.

分析：根據(jù)菱形的軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)D，連結(jié)PD. 則PB=PD。那么PM+PB=PM+PD。即PM+PB的最小值即就是PD+PM的最小值，也就是點(diǎn)DM的值。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形， ∠BAD=60°，ABD是等邊三角形。又M是AB的中點(diǎn)，所以DM是ABD中線，又因?yàn)榈妊切稳€合一的性質(zhì)，所以DM是ABD高線。又因?yàn)锳B=2，所以AM=，DM=3，故PA+PB的最小值是3。

例4.正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形 ，點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，求PD+PE的最小值____________.

分析：根據(jù)正方形的軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)D關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)B，連結(jié)PB，則BP=DP。那么PD+PE=PB+PE。即PD+PE的最小值即就是PB+PE的最小值，PB+PE的最小值為BE。因?yàn)檎叫蜛BCD的面積為12， 則AB=2，又因?yàn)锳BE是等邊三角形。又M是AB的中點(diǎn)，所以DM是ABD中線，又因?yàn)榈妊切稳€合一的性質(zhì)，所以BE=AB=2，又所以PD+PE的最小值是3。

歸納經(jīng)驗(yàn)：此類問題的共同特點(diǎn)是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，這條線段的長度就是最短距離，怎樣找到這條線段呢？步驟如下（以最后一題為例）

1.動(dòng)點(diǎn)P在AC直線上運(yùn)動(dòng)，這條直線AC即為對(duì)稱軸。

2.找出（或作出）點(diǎn)D關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)B

3.連結(jié)BE，BE即就是這條線段。BE的長度即是最短距離，（當(dāng)PD+PE取最小值時(shí)，點(diǎn)P就是BE與對(duì)稱軸的交點(diǎn).。

4.利用所學(xué)的知識(shí)，求BE的長度。

初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文第2篇

二次函數(shù)壓軸題能考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，具有知識(shí)點(diǎn)多、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活等特點(diǎn)，因此是中考數(shù)學(xué)的難點(diǎn).不過，如果我們能在做習(xí)題的基礎(chǔ)上多總結(jié)一些方法，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，有些難點(diǎn)就能較快突破.下面我們就一類二次函數(shù)與三角形面積的最值問題，來探求其中方法與規(guī)律.

一、規(guī)律發(fā)現(xiàn)

引例 已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求PBC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】本題為求三角形面積最值問題，可以采用平行線法或構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值等兩種思路來解決問題.

解法1：如圖1，易求直線BC的解析式為：y=-x+3，所以可設(shè)直線l為y=-x+b.過點(diǎn)P作直線l∥BC，則多數(shù)情況下，直線l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)SPBC顯然不是最大；當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)（即方程[y=-x+b，y=-x2+2x+3]有唯一解）時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，因此SPBC最大.①代入②化為一元二次方程可得x2-3x+b-3=0，當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，即b=[214].將b的值代回原方程組，可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為[32，154]，再由P、B、C點(diǎn)坐標(biāo)可求得PBC的面積最大值為：[278].

解法2：如圖2，同樣求得直線BC的解析式為：y=-x+3.過點(diǎn)P作直線垂直于x軸，交直線BC于點(diǎn)D.

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），點(diǎn)D在BC上，因此坐標(biāo)為（n，-n+3）；以PD為底邊，設(shè)PDC的高為h1，設(shè)PDB的高為h2，則h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n.

SPBC=SPDC+SPDB=[12]PD?h1+[12]PD?h2

=[12]PD?（h1+h2）=[12]PD×3=[32]PD

=[32]（-n2+3n）=-[32]n2+[92]n.

這樣，SPBC就是關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)易得當(dāng)n=[32]時(shí)，SPBC的最大值為[278]，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為[32，154].

【發(fā)現(xiàn)1】在解法1中，當(dāng)三角形面積取得最大值時(shí)，只存在一個(gè)PBC，但當(dāng)面積縮小時(shí)，可能同時(shí)存在兩個(gè)不同的PBC；

【發(fā)現(xiàn)2】在解法2中，將PBC進(jìn)行縱向切割，將其分割為兩個(gè)底邊都為PD的三角形，它們的高的和就是BC兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差；

【發(fā)現(xiàn)3】注意觀察兩種解法中，當(dāng)三角形面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是[32]，而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，可以理解為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)恰好是線段BC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).其實(shí)這種情況并不是巧合，是一種規(guī)律，是可以用數(shù)學(xué)方法證明的.（有興趣的同學(xué)可以拋物線y=ax2+bx+c和直線y=mx+n（am≠0）的交點(diǎn)是（x1，y1），（x2，y2）為一般情況進(jìn)行證明，這里就不贅述.）

二、試刀中考

例1 （2016?江蘇蘇州）如圖3，直線l∶y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2-2ax+a+4（a

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）略.

【解析】（1）方法略，函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）本題初看與上面的引例不同，但其拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，及計(jì)算三角形面積的最值都與引例類似，可用解法2的方法求解問題，不過考慮到縱向作垂線分割三角形計(jì)算有一定的困難，可以采用橫向作垂線分割三角形，縱向距離為高.

如圖4，過點(diǎn)M作MEy軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，可設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐標(biāo)為：

[m2-2m3，-m2+2m+3]， DM=[-m2+5m3]，

S=[12]DM（BE+OE）=[12]DM?OB

=[12]×3×[-m2+5m3]=-[12]m2+[52]m.

然后可由二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值為[258].

【評(píng)析】在平面直角坐標(biāo)系中研究一些圖形的面積時(shí)，可采用割補(bǔ)法將復(fù)雜、不規(guī)則的圖形分割成若干個(gè)三角形計(jì)算.分割時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①分割后的三角形面積應(yīng)該容易計(jì)算；②一般的分割方法為橫向或縱向；③如有必要，也可斜向分割.

如本題中也可連接OM，計(jì)算四邊形BOAM的面積減BOA的面積.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試，才能找到更為簡單的計(jì)算三角形面積的方法.

例2 （2010?江蘇徐州）如圖5，已知二次函數(shù)y=-[14]x2+[32]x+4的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC.

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；

（2）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)？

【解析】（1）解答略，A（0，4），C（8，0）.

（2）易得D（3，0），CD=5.直線AC對(duì)應(yīng)的解析式為y=[-12]x+4，分三種情況討論：①DE=DC，②ED=EC，③CD=CE，可求得三個(gè)點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為：E1（0，4），E2[112，54]，E3（8-[25]，[5]）.

（3）本題思路較為難覓，關(guān)鍵要理解“S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)”這句話的意思：其實(shí)只要考慮S的取值范圍（即最大值與最小值），然后探討在S取不同數(shù)值時(shí)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)即可.在求S的取值范圍時(shí)，還要對(duì)點(diǎn)P所在的位置進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)P的位置在AC上方時(shí)，就可以用引例中的兩種方法求S的最大值，我們以第二種方法來解.

過P作PHOC，垂足為H，交直線AC于點(diǎn)Q.設(shè)P（m，-[14]m2+[32]m+4），則Q（m，-[12]m+4）.

① 當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí)，即0

此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P只有1個(gè)，當(dāng)0

② 點(diǎn)P在AB之間時(shí)，即-2

故S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè).

【評(píng)析】本題的第（3）題問法比較難理解，尤其是“相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)”，這需要對(duì)此問題有一定的研究經(jīng)驗(yàn)，知道引例中的平行線研究方法的原理（關(guān)鍵是不同面積數(shù)值與點(diǎn)P的個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系），否則不容易聯(lián)想到要考慮PAC面積的取值范圍.當(dāng)然，在具體計(jì)算S的最大值時(shí)，還是用設(shè)坐標(biāo)，用含m的代數(shù)式表示PAC的面積的方法更為簡潔一些.

初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文第3篇

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)； 二次函數(shù)； 三角形面積問題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315（2012）10-035-001

一、拋磚引玉

建模：已知直角坐標(biāo)中點(diǎn)B（3，0），C（0，3）D（1，4），求出順次連結(jié)這三點(diǎn)的三角形的面積。

引導(dǎo)問題：在平面直角坐標(biāo)系中畫出BCD的圖形。探索根據(jù)已知三點(diǎn)的坐標(biāo)如何來求出BCD的面積。在求BCD時(shí)遇到困難時(shí)能否用數(shù)學(xué)的“割補(bǔ)法”幫助你解決這個(gè)問題。請(qǐng)你提出你的觀點(diǎn)并大膽地嘗試。

教學(xué)感悟：本次建模是為下面引出問題作下伏筆，我們盡可能讓學(xué)生提出不同的分割思想，讓學(xué)生提出不同的見解，說出不同的解決問題方法。

二、構(gòu)建例題

例題：如圖（7）已知拋物線圖象過A（-1，0），C（0，3）且對(duì)稱軸為直線x=1。

（1）求拋物線的解析式，圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求DCB的面積。

引導(dǎo)問題：求二次函數(shù)的解析式有哪三種方法？本題采用哪一種方法解題比較簡單？求DCB面積時(shí)我們需要做些什么準(zhǔn)備工作？B、C、D坐標(biāo)求出后三角形面積如何求？它與上述的模型有類同之處嗎？如有類同，哪些分割法比較適宜本題？請(qǐng)你試試并求出答案。

設(shè)計(jì)意圖：通過本題學(xué)習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步掌握二次函數(shù)解析式的三種不同的表達(dá)式，讓學(xué)生體會(huì)到不同的選擇帶來不同的簡便效果，進(jìn)一步讓學(xué)生掌握平面直角坐標(biāo)中求斜三角形面積的不同分割方法。

變式題1：如圖（8），已知拋物線與坐標(biāo)軸交于C、B兩點(diǎn)，D是直線BC上方的二次函數(shù)的一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)D與B、C不重合），點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)DBC的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)和三角形面積的最大值。

引導(dǎo)問題：（1）從例題到變式題，兩題都是求三角形面積，兩者是否存在差別。（2）變式題中已知二次函數(shù)解析式能求出B、C的坐標(biāo)并能求出BC的長，當(dāng)點(diǎn)D與到直線BC距離最大時(shí)DBC面積最大？你會(huì)不會(huì)求出D與到BC最大距離，如不能，你用什么方法來解決你的問題？二次函數(shù)最值問題對(duì)你解決問題是否有幫助呢？如有幫助，那么如何建立DBC面積關(guān)于點(diǎn)D的坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式？建模中的三角形分割思想對(duì)你解決本題有什么啟發(fā)？

變式題2：已知拋物線y=-x2+2x+3與直線y=-x+1交于C、B兩點(diǎn)，D是直線上方BC的二次函數(shù)的一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)D與B、C不重合），點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)三角形DBC的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)和三角形面積的最大值。

引導(dǎo)問題：變式題（2）與變式題（1）有什么區(qū)別與聯(lián)系？它們有類同點(diǎn)嗎？如有類同則上題幾種解題方法能適應(yīng)本題嗎？在這幾種方法中哪種方法比較簡便，能不能用上面感悟的方法來解決本題？請(qǐng)你試試。

略解：過D作DE//y軸交BC于點(diǎn)E，DE//y軸，xp=xE，點(diǎn)D的坐標(biāo)（x，-x2+2x+3），點(diǎn)E坐標(biāo)（x，-x+1），

變式題3：已知拋物線y=-x2+2x+3與y=-x+1直線交于點(diǎn)C，與x軸于點(diǎn)B，D是直線BC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)D與交點(diǎn)不重合）點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)DBC的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)和三角形面積的最大值。

引導(dǎo)問題：變式題（3）與變式題（2）有區(qū)別和聯(lián)系嗎？這兩題的主要不同之處在哪里？能不能用相同的方法求解。

透析：隨點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)位置不同，DBC將出現(xiàn)以下三種不同的圖形：

我們發(fā)現(xiàn)SDBC=■DFxB-xC，當(dāng)直線與二次函數(shù)的解析式確定，B、C的坐標(biāo)也就確定，SDBC面積與DF的長度有關(guān)，當(dāng)DF有最大值時(shí)，SPBC的面積也存在最大值。

略解：過D作DF//y軸，交直線BC于點(diǎn)F，DF//y軸，xD=xF，點(diǎn)D的坐標(biāo)（x，-x+1），點(diǎn)F坐標(biāo)（x，-x+1），DF=yD-yE=（-x2+2x+3）-（-x+1）=-x2+3x+2。

初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文第4篇

【關(guān)鍵詞】 動(dòng) 靜 參數(shù)

一 、 以"靜"克"動(dòng)"

1.參數(shù)法

①直角坐標(biāo)參數(shù)法

例1（2013四川德陽，24，14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCO（0為原點(diǎn)），點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（0 ， 6），將BCD沿BD拆疊（D點(diǎn)在OC邊上），使C點(diǎn)落在OA邊的E點(diǎn)上，并將BAE沿BE拆疊，恰好使點(diǎn)A落在BD邊的F點(diǎn)上.

（1）求BC的長，并求拆痕BD所在直線的函數(shù)解析式；

（2）過點(diǎn)F作FGx軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點(diǎn)為H，若拋物線 經(jīng)過B、H、D三點(diǎn)，求拋物線解析式；

（3）點(diǎn)P是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，且點(diǎn)P在（2）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含B， D點(diǎn)），過P作PNBC，分別交BC和BD于點(diǎn)N、M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使 ，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

解：（1），（2）略

（3）P在拋物線上，P（x， ），M（x， ），N（x，6）， ，PM=MN，即： . ， ，

， .當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng) 時(shí)， ，P（ ，2）或P（ ，6），

P不與B重合，P（ ，6）舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ，2）.

說明：坐標(biāo)參數(shù)法是把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用未知參數(shù)體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)表示出來，這樣動(dòng)點(diǎn)就可以象定點(diǎn)那樣參與運(yùn)算，使"動(dòng)"的對(duì)象過渡到"靜"的對(duì)象，然后利用用運(yùn)動(dòng)規(guī)律列出含有參數(shù)的關(guān)系式，最后解出所設(shè)的未知參數(shù).這類問題在這幾年的中考卷中出現(xiàn)比較多.

②一般參數(shù)法

例2如圖，P與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn) A（0，2）是P與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B（-2 ，0）在x軸上， 連結(jié)BP交P于點(diǎn)C，連接AC并延長交x軸于點(diǎn)D.

（1）求線段BC的長；

（2）求直線AC的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)B，使BOP∽AOD？若存在，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解：（1）BC=2；

（2）如圖，過點(diǎn)C作CEx軸于E，CFy軸 于F，在PBO中，CF∥BO， 即 .解得CF= 同理 ，可解得CE= 因此點(diǎn)C坐標(biāo)為（- ， ）.設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b.由于直線AC過A（0，2），C（- ， ）兩點(diǎn). 所以有 ，解得 所求函數(shù)解析式為y= x+2.

（3）略.

說明：參數(shù)法是數(shù)學(xué)中很重要的解題方法，在解決"動(dòng)"的問題中，也往往利用參數(shù)這一"法寶"，充分運(yùn)用變"動(dòng)"為"靜"的辨證關(guān)系，所有的與"動(dòng)"有關(guān)的因素，即動(dòng)因都可以用參變量來描述.這樣，就可以與“不動(dòng)”因素一起參與運(yùn)算了。

2.特殊位置法

例3 如圖，已知AB是O的直徑，直線MN與 O相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，ADMN，垂足為D.

（1）求證：∠BAE=∠DAF；

（2）若把直線MN向上平行移動(dòng)，使之與AB相交，其它條件不變，請(qǐng)把變化后的圖形畫出來，并指出∠BAE與∠DAF是否仍然相等（直接回答，不必證明）？

解：（1）略；

（2）使MN過O點(diǎn)，（如右圖）在這種特殊位置時(shí)，就很 容易看出關(guān)系式∠BAE=∠DAF仍然成立.

說明：本題利用了MN在移動(dòng)中的特殊位置，使問題變得既簡單又明了.這是與"動(dòng)"有關(guān)的巧妙方法.

3.數(shù)學(xué)模型法

例4 如圖所示，RtABC≌RtDEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a，當(dāng)兩個(gè)三角形沿直線FC移動(dòng)時(shí)，求圖中陰影部分的面積的最大值.

解：顯然有ABC≌DEF設(shè)MB=x，則由已知可得AB=a，AM=a-x， ∠A=∠AMK=60°.EC=BF= x，BC= a，AMK為等邊三角形 S陰影=SABC -SAMK -SNEC = BC×AB- AM× AM - × x 2 = × a2- （a-x）× （a-x） - × x 2= a2- （a-x）2- x2= （2ax-2x2）= - x2+ax。 當(dāng)x= a 時(shí)，陰影部分的最大值是 a 2， S陰影 = a2 .

說明：許多運(yùn)動(dòng)中的最值問題往往借助于函數(shù)知識(shí)，利用函數(shù)中的定義域和二次函數(shù)的最值求解.所以往往采用建立函數(shù)模型.使動(dòng)的對(duì)象通過設(shè)的未知量，而和如"靜"的對(duì)象一樣參與運(yùn)算，從而達(dá)到目的.當(dāng)然還有方程模型，不等式模型（此問題與2006年呼和浩特市的中考題相同，只不過呼市的問題中AB是一個(gè)常數(shù) . ）

二、 以"動(dòng)"克"靜"

1.位置無關(guān)法

例5 如圖1， 在矩形ABCD中， 橫向陰影部分是矩形，另一陰影部 分是平行四邊形.依照?qǐng)D形標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖形空白部分的面積，其面積是（ ）

A. bc-ab+ac+c B.ab-bc-ac+c

C. a +ab+bc-ac D.-bc+a -ab

說明：本題把陰影矩形動(dòng)起來，平移到圖2的位置，問題就容易得多.因?yàn)楸绢}中僅僅與圖形的面積有關(guān)，與圖形的位置無關(guān).這類問題往往是采用使靜的圖形動(dòng)起來，運(yùn)動(dòng)到與解題相當(dāng)有利的位置.本題的正確答案是B.

2.等價(jià)變換法

例6 已知如圖1，AB為過圓心 O的直線，弦CD∥AB . 弧DC的度數(shù) 為60°，如果O的半徑為r，求圖中 陰影部分的面積.

解：如圖2所示，把點(diǎn)B平移到O點(diǎn)，即連結(jié)OC和OD.則圖2中的陰影部分的面積就等于圖1中陰影部分的面積.而圖2中的陰影部分的面積就是扇形，就容易求了.為 πr .

說明：點(diǎn)B從原來的位置平移到圓心O得到扇形OCD，實(shí)際上是一種等積變形.即從"靜"到"動(dòng)"實(shí)現(xiàn)等價(jià)變換.

3.定值問題

例7 已知，如圖，三角形ABC中，AB=AC，過BC上 一點(diǎn)D作垂線交兩腰所在的直線于E，F(xiàn).求證：DE+DF為定值.

分析：由等腰三角形ABC及DFBC于D，可以得到當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D到達(dá)BC中點(diǎn)時(shí)，可確定所求的定值為2AH.

證明：過A作AHBC于H，則BDE∽CDF∽BHA.

① ， ②，又BH=CH. ①+② 得 = = = =2.DE+DF=2AH. 而AH為定值.DE+DF為定值.

說明：幾何中的定值問題，往往是尋找某些運(yùn)動(dòng)中幾何圖形的特殊位置.從這些特殊位置中再去尋求不變量即定值.從而使問題得以解決.

4.構(gòu)造法

例8 已知如圖，ABC中，AB=AC，∠APB>∠APC，求證：PC>PB.

證明：將ABP繞A點(diǎn)向逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC 重合，得ACD，連結(jié)PD則ABP≌ACD.

AP=AD，BP=CD，∠APB=∠ADC.

AP=AD，∠APD=∠ADP.

∠APB>∠APC，∠ADC>∠APC，∠ADC-∠ADP>∠APC-∠APD.

∠PDC>∠DPC，PC>DC.

說明：本題就是把"靜"的ABP作適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，得到ACD，使得問題得以解決.這是充分利用"動(dòng)"與"靜"這對(duì)辨證的關(guān)系解決問題的最好例子.其實(shí)這也可以歸納到構(gòu)造法中去.

4."確定"與"不確定' "動(dòng)點(diǎn)"與"定點(diǎn)"的相對(duì)性

例9如圖，在矩形ABCD中 ，AB=3，AD=4，P是AD 上的動(dòng)點(diǎn).PEAC于E，PFBD于F，則PE+PF的值為（ ）

A. B.2 C. D.

解：把A看成是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 則此時(shí)PE=0， PF為RtBAD斜邊上的高線，

AB=3，AD=4，BD= =5.斜邊上的高線AH為 = .應(yīng)選A .

初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文第5篇

【關(guān)鍵詞】課題學(xué)習(xí);最短路徑問題;實(shí)施;交流

序言

最短路徑問題的教學(xué)在初中教學(xué)中出現(xiàn)有幾種類型，頻繁出現(xiàn)的主要在幾何與函數(shù)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)方面，以學(xué)生能力提升為主，教師應(yīng)當(dāng)在選擇課題時(shí)注意此點(diǎn)，采用便捷、靈活的計(jì)算方法和技巧，優(yōu)化教學(xué)方法，提高學(xué)生解題的效率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

1.課題學(xué)習(xí)原則

課題學(xué)習(xí)屬于新穎的學(xué)習(xí)方式，課題學(xué)習(xí)課堂上教師需要對(duì)教科書或者是相同類型的課題、題型進(jìn)行有效整合，通過教師的教學(xué)引導(dǎo)，綜合運(yùn)用各種解題方法對(duì)課題進(jìn)行解決，積累更多課題知識(shí)，提高自主探究能力，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)交流，引發(fā)更多學(xué)習(xí)創(chuàng)新方法，課題學(xué)習(xí)有關(guān)特征主要有四種：主體性，課題學(xué)習(xí)可以充分體現(xiàn)出學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中是要通過合作討論、自主探索的學(xué)習(xí)方式，才可以在解決數(shù)學(xué)問題有清晰的解題步驟和思考思維，以問題作為出發(fā)點(diǎn)，然后主動(dòng)思考問題，體現(xiàn)了學(xué)生主體地位突出;探究性，課題學(xué)習(xí)教學(xué)需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究，絕不可直接解答題目反而遏制了學(xué)生探究思維的開發(fā)，必須要體現(xiàn)課題學(xué)習(xí)的探究性;綜合性，課題學(xué)習(xí)所涉及的內(nèi)容比較廣泛，如果是在初中三年級(jí)的話，學(xué)習(xí)最短路徑問題就會(huì)涉及到整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系，包括的范圍廣，或者還接觸到其他學(xué)科中去，體現(xiàn)課題學(xué)習(xí)的綜合性強(qiáng)的特點(diǎn);開放性，課題學(xué)習(xí)不局限與教材的內(nèi)容，學(xué)習(xí)本來就具有融會(huì)貫通的思維能力，沒有持久不變的題目，只有永恒的邏輯思維，當(dāng)遇到相類似的題型，就需要學(xué)生使用解題技巧和數(shù)學(xué)理論知識(shí)結(jié)合起來，教師亦當(dāng)如此。

2.強(qiáng)化對(duì)“課題學(xué)習(xí)”理論的認(rèn)識(shí)的理解

教師在進(jìn)行“課題學(xué)習(xí)”的課堂之前，幫助學(xué)生對(duì)各個(gè)類型的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧，把相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和定理整理歸納好，思考各個(gè)類型知識(shí)點(diǎn)和問題的解決途徑和技巧。同時(shí)，教師也需要加固課題學(xué)習(xí)所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和教學(xué)的相應(yīng)技巧與教學(xué)方法，充分做好備課工作，深刻認(rèn)識(shí)到“課堂學(xué)習(xí)”的重要教學(xué)理念和實(shí)際的教學(xué)目標(biāo)，做好課堂的教學(xué)規(guī)劃和改善課堂教學(xué)流程。

3.規(guī)劃“課題學(xué)習(xí)”教學(xué)方案

此次“課堂學(xué)習(xí)”的教學(xué)內(nèi)容是關(guān)于初中數(shù)學(xué)最短路徑的問題，教師需要根據(jù)學(xué)生所學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行規(guī)劃后課堂教學(xué)的方案，分配好各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的最短路徑問題在課堂上利用的時(shí)間，知識(shí)點(diǎn)的難易程度、解題方法和教學(xué)方式會(huì)決定所耗費(fèi)的時(shí)間長短。關(guān)于最短路徑的問題教師首先收集好典型且具有意義性的題目，并且了解如何進(jìn)行解答。例如教師可以從螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食，其原理是線段之和最短的問題或者是數(shù)模、函數(shù)等方面進(jìn)行收集相關(guān)的數(shù)學(xué)題目，此外，在題目中還需要對(duì)該知識(shí)進(jìn)行拓展，或者構(gòu)思不同方式的題目，拓展學(xué)生思維的界限，教師還應(yīng)強(qiáng)調(diào)由易到難的教學(xué)觀念。

例如：

問題一、如圖1，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短。

圖1

此問題的要求就是要在直線上找到一個(gè)點(diǎn)，這一點(diǎn)要使得直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之和要達(dá)到最短，此題利用到“兩點(diǎn)間的所有連線中，線段最短”的理論來進(jìn)行論證求解。除了這一題外還有其他相同類型的題目比如：螞蟻的爬行問題，如圖2是一個(gè)長方體木塊，已知AB=5，BC=3，CD=4，假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處，則螞蟻爬行的最短路徑是多少？

圖2

這都屬于最短路徑的數(shù)學(xué)題目，涉及到幾何體的內(nèi)容，需要拆開的方式來求證。

問題二、數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不僅僅只有這點(diǎn)，還有關(guān)于幾何方面的知識(shí)都有最短路徑的探究：

如圖3，AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點(diǎn)D在弧線AC上，弧AD等于2倍的弧CD，點(diǎn)P是半徑OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+PD的最小值是多少？

圖3

這類型的題目需要結(jié)合到幾何定理知識(shí)來求解。

教師在進(jìn)行“課題學(xué)習(xí)”之前就需要對(duì)這些類型的題型完全把握好，分析幾何型和數(shù)形結(jié)合的問題，理清解題的過程，貫穿到哪些方面的數(shù)學(xué)定理、概論。結(jié)合到題目的難易程度或者知識(shí)點(diǎn)范圍，可以規(guī)劃幾個(gè)課時(shí)才可以解決，制定明確的課堂流程。

4.利用教學(xué)方法促成“課題學(xué)習(xí)”教學(xué)

教師進(jìn)行改善教學(xué)方法，需要考慮到“課題學(xué)習(xí)”的主要特點(diǎn)來制定相應(yīng)的教學(xué)方法，就從它有主體性的特點(diǎn)來思考。教師可以展開小組合作討論活動(dòng)，對(duì)最短途徑問題進(jìn)行探索，為學(xué)生提高情境教學(xué)的環(huán)境，提高學(xué)生課題學(xué)習(xí)課程的興趣，培養(yǎng)學(xué)生探索思維，創(chuàng)新思維。例如在“問題一”中的第二類型的題目上展開小組討論活動(dòng)，由于問題難度不算高，教師可以一兩人為一小組，提倡學(xué)生利用上現(xiàn)有制作的數(shù)學(xué)模型展開討論，可以把制作好的長方體標(biāo)記好有字母的標(biāo)記，讓學(xué)生進(jìn)行思考探索，學(xué)生在探索思考過程中，加上動(dòng)手的操作，就可以理解到如何進(jìn)行解決問題。從小組討論的教學(xué)方式來說，極好地體現(xiàn)了“課題學(xué)習(xí)”教學(xué)的有效性。此外，教師還應(yīng)該采用數(shù)形結(jié)合法來教學(xué)，圖像的表達(dá)可以把抽象的數(shù)學(xué)條件，誘導(dǎo)出形象的圖像，加快學(xué)生解題速度。

結(jié)語：綜上所述，數(shù)學(xué)問題萬變不離其宗，所有題目或者題型的變化，都可以找到問題的突破口，結(jié)合數(shù)學(xué)理論知識(shí)就可以把問題解答，課題學(xué)習(xí)的關(guān)鍵作用使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)知識(shí)點(diǎn)的回顧，加深對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神。

【參考文獻(xiàn)】

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