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數(shù)學(xué)研究論文范文第1篇

【關(guān)鍵詞】科學(xué)哲學(xué)/數(shù)學(xué)哲學(xué)/數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命

【正文】

本文有兩個互相關(guān)聯(lián)的目標(biāo)：第一，對科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的重要影響作出綜合分析；第二，對新的研究與基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)進行比較，從而清楚地指明數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的革命性質(zhì)。

一、從一些具體的研究談起

如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的黃金時代：在這一時期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題進行了系統(tǒng)和深入的研究，并發(fā)展起了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠影響的數(shù)學(xué)觀，從而為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究開拓出了一個嶄新的時代，其影響也遠遠超出了數(shù)學(xué)的范圍，特別是，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)曾對維也納學(xué)派的科學(xué)哲學(xué)研究產(chǎn)生了十分重要的影響，而后者則曾在科學(xué)哲學(xué)的領(lǐng)域長期占據(jù)主導(dǎo)的地位。

然而，在四十年代以后，上述的情況發(fā)生了重要的變化。盡管邏輯主義等學(xué)派作出了極大的努力，他們的研究規(guī)劃卻都沒有能夠獲得成功，從而，在經(jīng)歷了所說的“黃金時代”以后，數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展就一度“進入了一個悲觀的、停滯的時期”；與數(shù)學(xué)哲學(xué)的困境相對照，科學(xué)哲學(xué)則已逐步擺脫邏輯實證主義的傳統(tǒng)進入了一個欣欣向榮的、新的發(fā)展時期。也正因為此，科學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展就對數(shù)學(xué)哲學(xué)家產(chǎn)生了巨大的吸引力，并對數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展產(chǎn)生了十分重要的影響。

就科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個先驅(qū)，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學(xué)哲學(xué)推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。盡管推廣和移植的工作是較為簡單的，但這仍然依賴于獨立的分析與深入的研究，因為在數(shù)學(xué)與一般自然（經(jīng)驗）科學(xué)之間顯然存在有重要的質(zhì)的區(qū)別。

為了使得由科學(xué)哲學(xué)中所吸取的觀念、概念、方法等確實有益于數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究，最好的方法就是集中于相應(yīng)的研究問題，也即是希望通過以科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數(shù)學(xué)哲學(xué)中的某些基本問題。例如，M.Hallett的論文“數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的發(fā)展”就以拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論，也即所謂的“科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關(guān)注的則是數(shù)學(xué)的方法論問題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論相類似的數(shù)學(xué)發(fā)展的方法論準(zhǔn)則”，Hallett的實際工作卻與拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論表現(xiàn)出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認(rèn)識到：“數(shù)學(xué)與經(jīng)驗科學(xué)之間的差異無疑是十分重要的”；“物理學(xué)可以依賴于不斷增加的事實性命題，但是數(shù)學(xué)中卻不存在這樣的對應(yīng)物。”因此，在Hallett看來，相應(yīng)的科學(xué)方法論準(zhǔn)則（即新的理論能作出某些預(yù)言，這些預(yù)言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。

與上述的方法論原則相對照，Hallett提出，新的理論在解決非特設(shè)性的重要問題方面的成功可以被用作判斷數(shù)學(xué)進步的準(zhǔn)則。Hallett并指出，這一準(zhǔn)則即是對希爾伯特在先前所已明確提出的相應(yīng)思想的一種改進。從而，這就確實不能被看成對于科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的直接推廣。

在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)我們并可看到一種不斷增長的自覺性，即是關(guān)于科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中的思想或理論對于數(shù)學(xué)哲學(xué)“可應(yīng)用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫恩的理論與數(shù)學(xué)：關(guān)于數(shù)學(xué)的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫恩的理論推廣應(yīng)用到數(shù)學(xué)時，應(yīng)當(dāng)首先考慮兩個問題：第一，“在數(shù)學(xué)中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對數(shù)學(xué)編年史的研究是否有確定的、富有成果的應(yīng)用？”

顯然，即使前一個問題可以說是一種直接的推廣或移植，后一問題的解答則依賴于更為深入的分析和獨立的研究，因為，這不僅涉及到了對庫恩理論的評價，而且也直接依賴于關(guān)于應(yīng)當(dāng)如何去從事數(shù)學(xué)哲學(xué)（和數(shù)學(xué)史）研究的基本思想。

正是從這樣的立場出發(fā)，Mehrtens提出：“盡管（數(shù)學(xué)中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機’的現(xiàn)象，我對這兩個概念持否定的態(tài)度，因為，它們并不能成為歷史研究的有利工具?！?/p>

當(dāng)然，上述的結(jié)論并不意味著Mehrtens對庫恩的理論持完全否定的態(tài)度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫恩所提出的“范式”和“科學(xué)共同體”這兩個概念對于數(shù)學(xué)史（和數(shù)學(xué)哲學(xué)）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道：“圍繞著科學(xué)共同體的社會學(xué)概念具有很大的解釋力量——在我看來——它們?yōu)閿?shù)學(xué)編年史提供了關(guān)鍵的概念。”

上述的批判態(tài)度和深入分析顯然表明了一種獨立研究的態(tài)度，從而，與簡單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進步。作為這種進步的又一實例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究。

一般地說，基切爾在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的工作主要就是將庫恩的科學(xué)哲學(xué)理論推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)之中，特別是，基切爾不僅由庫恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關(guān)于科學(xué)活動社會—文化性質(zhì)的分析等。另外，基切爾所主要關(guān)注的則是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的合理性問題。例如，正是從這一立場出發(fā)，基切爾首先考察了什么是數(shù)學(xué)變化的基本單位。基切爾寫道：“一個首要的任務(wù)，就是應(yīng)當(dāng)以關(guān)于數(shù)學(xué)變化單位的更為精確的描述去取代關(guān)于‘?dāng)?shù)學(xué)知識狀況’的模糊說法。這一問題與關(guān)注科學(xué)知識增長的哲學(xué)家們所面臨的問題在形式上是互相平行的。我認(rèn)為，在這兩種情形中，我們都應(yīng)借助于一個多元體，也即由多種不同成分所組成的實踐（practice）的變化，來理解知識的增長?！?/p>

在基切爾看來，后者事實上也就是庫恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒有逐一地去尋找“范式”（或“專業(yè)質(zhì)基”）的各個成分（如“符號的一般化”、“模型”、“價值觀”、“范例”等）在數(shù)學(xué)中的對應(yīng)物，而是對“數(shù)學(xué)實踐（活動）”的具體內(nèi)容作出了自己的獨立分析?；袪柼岢?，“我以為我們應(yīng)當(dāng)集中于數(shù)學(xué)實踐的變化，并把數(shù)學(xué)實踐看成是由以下五個成分所組成的：語言，所接受的命題，所接受的推理，被認(rèn)為是重要的問題，和元數(shù)學(xué)觀念。”顯然，這即是對庫恩基本思想的創(chuàng)造性應(yīng)用。

其次，基切爾又具體地指明了若干個這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數(shù)學(xué)實踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫恩之間所存在的一個重要區(qū)別：盡管前者從庫恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫恩那樣的非理性主義立場。這一轉(zhuǎn)變當(dāng)然也是批判性的立場和獨立思考的直接結(jié)果。

二、新方向上研究的共同特征

盡管在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家有著不同的研究背景和工作重點，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說，這些工作又有著明顯的共同點，后者事實上更為清楚地表明了來自科學(xué)哲學(xué)的重要影響。

1.對于數(shù)學(xué)經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性的肯定

所謂數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性，就其原始的意義而言，即是對數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)同一性（analogy，或similarity）的確認(rèn)。這一認(rèn)識事實上構(gòu)成新方向上所有工作的共同出發(fā)點。

關(guān)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗性的斷言顯然正是對于傳統(tǒng)觀念的直接否定，即數(shù)學(xué)知識不應(yīng)被看成無可懷疑的絕對真理，數(shù)學(xué)的發(fā)展也并非數(shù)學(xué)真理在數(shù)量上的簡單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數(shù)學(xué)從柏拉圖所置于的寶座上拉下來了。”

事實上，人們曾從各種不同的角度對數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的同一性進行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認(rèn)識論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結(jié)構(gòu)的同一性”，等等。另外，在筆者看來，對于經(jīng)驗性的肯定事實上也可被看成關(guān)于數(shù)學(xué)的社會—文化觀念（這是在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家所普遍接受的）的一個直接結(jié)論。這就是說，如果數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)一樣，最終都應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動，并構(gòu)成了整個人類文化的一個有機組成成分，那么，數(shù)學(xué)的發(fā)展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復(fù)雜過程，而且，“數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與改變最終是由我們的實際利益與其它科學(xué)的認(rèn)識論目標(biāo)所決定的?！?/p>

其次，如果說數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性集中地反映了數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)的同一性，那么，對于數(shù)學(xué)擬經(jīng)驗性（quasi-empirical）的強調(diào)則就突出地表明了數(shù)學(xué)的特殊性。

具體地說，我們在此所涉及的主要是這樣一個問題：除去在實際活動中的成功應(yīng)用外，就數(shù)學(xué)理論而言，是否還存在其它的判斷標(biāo)準(zhǔn)？另外，擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀的核心就在于明確肯定了數(shù)學(xué)有自己特殊的價值標(biāo)準(zhǔn)，這就是新的研究工作對于數(shù)學(xué)自身的意義，即如其是否有利于已有問題的解決或方法的改進等。顯然，后者事實上也就是實際數(shù)學(xué)工作者真實態(tài)度的一個直接反映。例如，美國著名數(shù)學(xué)家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫道：“數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域中的進步包括兩個互補的方面：重要問題的解決以及對于所獲得結(jié)果的理解?！?/p>

由此可見，我們就應(yīng)同時肯定數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性。顯然，就本文的論題而言，這事實上也就表明了：為了在數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究中取得實質(zhì)性的進展，我們不僅應(yīng)當(dāng)保持頭腦的開放性，也即應(yīng)當(dāng)努力從科學(xué)哲學(xué)中吸取更多有益的思想、概念和問題，同時也應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)的特殊性，即在一定程度上保持?jǐn)?shù)學(xué)哲學(xué)的相對獨立性。

2.對于數(shù)學(xué)方法論的高度重視

理性主義與非理性主義的長期爭論無疑是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個重要特點；與此相對照，理性主義的立場在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中卻似乎沒有受到嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，但是，后者并不意味著現(xiàn)已存在某種為人們所普遍接受的關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展合理性的理論，恰恰相反，后一目標(biāo)的實現(xiàn)還有待于長期的努力。

然而，在這一方面確已取得了一定的進步，特別是，相對于早期的簡單“移植”而言，現(xiàn)今人們普遍地更加重視對那些源自科學(xué)哲學(xué)的概念、觀點和理論的分析和批判。例如，就庫恩的影響而言，人們現(xiàn)已認(rèn)識到，對于數(shù)學(xué)的社會—文化性質(zhì)的確認(rèn)，并不意味著我們必須采取相對主義或非理性主義的立場；另外，在肯定數(shù)學(xué)歷史發(fā)展合理性的同時，人們也認(rèn)識到了這種發(fā)展并不能簡單地被納入某一特定的模式。事實上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會化建構(gòu)的，……即包括有一個社會協(xié)商的過程?！睆亩?，在此所需要的就是一種辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場出發(fā)，格拉斯提出，我們應(yīng)對庫恩和拉卡托斯的理論進行整合：“拉卡托斯的方法論立場至少應(yīng)當(dāng)用像庫恩那樣的社會和歷史的觀點予以補充和平衡?！?/p>

值得指出的是，這種整合的立場事實上也就是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個重要特點，特別是，這即是科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中所謂的“新歷史主義學(xué)派”所采取的一個基本立場：他們對先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評的立場，并希望能通過對立理論的整合發(fā)展出關(guān)于科學(xué)發(fā)展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的重要影響。

艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫道：“……數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注與那些研究人類知識其它領(lǐng)域（特別是，自然科學(xué)）同一類型的問題。例如，哲學(xué)家們應(yīng)當(dāng)考慮這樣的問題：數(shù)學(xué)知識是如何增長的？什么是數(shù)學(xué)進步？是什么使得某一數(shù)學(xué)觀點（或理論）優(yōu)于其它的觀點（或理論）？什么是數(shù)學(xué)解釋？”特別是，“數(shù)學(xué)在其發(fā)展中是否遵循任何方法論的原則？”事實上，在艾斯帕瑞和基切爾看來，如何對數(shù)學(xué)方法論作出恰當(dāng)?shù)恼f明就構(gòu)成了在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的核心問題。顯然，這一立場也是與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對于科學(xué)方法論的高度重視完全一致的。

3.對于數(shù)學(xué)史的強調(diào)

如眾所知，對于科學(xué)史的突出強調(diào)也是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的一個重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫恩以前，科學(xué)哲學(xué)長期為邏輯實證主義所支配，后者認(rèn)為科學(xué)史是與他們的研究毫不相關(guān)的；但是，這種形勢現(xiàn)在已經(jīng)有了改變……科學(xué)哲學(xué)家們現(xiàn)已認(rèn)識到了歷史研究的重要性。”這就是說，“如果沒有給予科學(xué)史應(yīng)有的重視，科學(xué)性質(zhì)的分析就是不可能的。”科學(xué)哲學(xué)的上述變化對在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家也產(chǎn)生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據(jù)了十分重要的位置?？梢哉f歷史方法事實上已成為數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的基本方法之一。

作為一種自覺的努力，我們在此還可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。

這些編輯者的一個共同特點是，他們不僅認(rèn)為數(shù)學(xué)方法論的任一理論都應(yīng)用歷史的案例加以檢驗，而且更大力提倡數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)哲學(xué)家的密切合作，并認(rèn)為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個信念，即數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要論題可以由哲學(xué)家與歷史學(xué)家的有組織對話得到啟示。……我們希望歷史的材料能在數(shù)學(xué)哲學(xué)家那里獲得更為深入和系統(tǒng)的應(yīng)用；同樣地，我們也希望哲學(xué)家由歷史所激發(fā)的思考能給歷史學(xué)家提供新的問題和思想?！憋@然，這種態(tài)度與傳統(tǒng)的把數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史絕對地分割開來的作法是截然相反的。

最后，我們在此還可提及所謂的“奠基于數(shù)學(xué)史之上的數(shù)學(xué)哲學(xué)”。具體地說，相關(guān)的數(shù)學(xué)哲學(xué)家在此所希望的就是能發(fā)展出關(guān)于數(shù)學(xué)知識的這樣一種理論，它能正確地反映數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，即“現(xiàn)代的數(shù)學(xué)知識是由初始的狀態(tài)經(jīng)由一系列的合理轉(zhuǎn)變得以形成的”（基切爾語）。顯然，按照這樣的觀點，數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要性就得到了進一步的強化：正是前者為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究提供了基本的素材和最終的檢驗。這也就是說，“數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)哲學(xué)來說，不僅不是無關(guān)的，并事實上占有核心的地位?！?/p>

4.實際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”

應(yīng)當(dāng)指出，對于數(shù)學(xué)史的高度重視不僅直接涉及到了數(shù)學(xué)方法論的研究，而且也標(biāo)志著數(shù)學(xué)哲學(xué)研究立場的重要轉(zhuǎn)變。在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家們幾乎一致地認(rèn)為，實際的數(shù)學(xué)活動應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)哲學(xué)理論研究的出發(fā)點和最終依據(jù)。“哲學(xué)沒有任何理由可以繼續(xù)無視實際的數(shù)學(xué)活動。事實上，正是這種實踐應(yīng)當(dāng)為數(shù)學(xué)哲學(xué)提供問題及其解決所需要的素材?！?/p>

當(dāng)然，上述的轉(zhuǎn)變直接反映了實際數(shù)學(xué)工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在對于這一領(lǐng)域（按指數(shù)學(xué)）中所實際發(fā)生的一切的仔細觀察之上?！?/p>

最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對數(shù)學(xué)方法論研究的意義進行了分析。他們這樣寫道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學(xué)家就可以此為依據(jù)對實際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發(fā)現(xiàn)這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對于方法論的偏離。另外，數(shù)學(xué)家們則可能會發(fā)現(xiàn)以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領(lǐng)域是如何由過去的數(shù)學(xué)演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發(fā)揮了特別重要的作用。并非言過其實的是，這些答案……—還可能對數(shù)學(xué)家關(guān)于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭論起到一定的啟發(fā)作用?！憋@然，這一認(rèn)識與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對于方法論的強調(diào)是完全一致的。

三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命

從整體上說，與先前的基礎(chǔ)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)相比，新方向上的研究無論就基本的數(shù)學(xué)觀，或是就研究問題、研究方法和基本的研究立場而言，都已發(fā)生了十分重要的變化。我們就可以說，數(shù)學(xué)哲學(xué)已經(jīng)歷了一場深刻的革命。

1.研究立場的轉(zhuǎn)移，即由與實際數(shù)學(xué)活動的嚴(yán)重分離轉(zhuǎn)移到了與它的密切結(jié)合。

由于深深地沉溺于對已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學(xué)派在基礎(chǔ)研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場，即都認(rèn)為應(yīng)當(dāng)對已有的數(shù)學(xué)理論和方法進行嚴(yán)格的批判或?qū)彶?，并通過改造或重建以徹底解決數(shù)學(xué)的可靠性問題。從而，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是一種規(guī)范性的研究，而也正因為此，基礎(chǔ)研究在整體上就暴露出了嚴(yán)重脫離實際數(shù)學(xué)活動的弊病。

與此相對照，在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家普遍采取了相反的立場，即是認(rèn)為數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)成為實際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”，也即應(yīng)當(dāng)“真實地反映當(dāng)我們使用、講授、發(fā)現(xiàn)或發(fā)明數(shù)學(xué)時所作的事”（赫斯語）。顯然，基本立場的上述轉(zhuǎn)移事實上也就意味著數(shù)學(xué)哲學(xué)性質(zhì)的重要改變：這已不再是實際數(shù)學(xué)工作者所必須遵循的某些先驗的、絕對的教條。

2.對于數(shù)學(xué)史的高度重視。

由于邏輯主義等學(xué)派所關(guān)注的主要是數(shù)學(xué)的邏輯重建，因此，在這些學(xué)派看來，數(shù)學(xué)的真實歷史就不具有任何的重要性，或者說即是與數(shù)學(xué)的哲學(xué)分析完全不相干的，而數(shù)學(xué)哲學(xué)家所唯一應(yīng)當(dāng)重視的則就是邏輯分析的方法。

與基礎(chǔ)主義者的上述作法相對立，在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家則普遍地對數(shù)學(xué)史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對于數(shù)學(xué)活動的歷史和社會層面的關(guān)注清楚地表明了‘新’的數(shù)學(xué)哲學(xué)與傳統(tǒng)的新弗雷格主義傾向的區(qū)別，而后者在本世紀(jì)前半葉曾在這一學(xué)科中占據(jù)支配的地位?！憋@然，這事實上也就可以被看成上述的基本立場的一個直接表現(xiàn)。

更為一般地說，人們并逐步確立了這樣的認(rèn)識：“沒有數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)哲學(xué)是空洞的；沒有數(shù)學(xué)哲學(xué)的數(shù)學(xué)史是盲目的?！保ɡㄍ兴拐Z）這不僅標(biāo)志著方法論的重要變革，而且也為深入開展數(shù)學(xué)哲學(xué)（和數(shù)學(xué)史）的研究指明了努力的方向。

3.研究問題的轉(zhuǎn)移。

由于對已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的極大憂慮構(gòu)成了邏輯主義等學(xué)派的基礎(chǔ)研究工作的共同出發(fā)點，因此，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是圍繞所謂的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題”展開的。這也就是指：如何為數(shù)學(xué)奠定可靠的基礎(chǔ)，從而徹底地解決數(shù)學(xué)的可靠性問題？

與此相對照，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)家一般不再關(guān)心數(shù)學(xué)的可靠性問題，而這事實上也就是數(shù)學(xué)工作者實際態(tài)度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一個明顯和無可辯駁的出發(fā)點，即人們具有一定的數(shù)學(xué)知識，這些數(shù)學(xué)知識并已獲得了證實，從而就是可靠的。

對于力圖為實際數(shù)學(xué)工作者建立“活的哲學(xué)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)家來說，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的核心問題無疑就在于：如何對數(shù)學(xué)（活動）作出合理的解釋？托瑪茲克說：“數(shù)學(xué)哲學(xué)始于這樣的思考，即是如何為數(shù)學(xué)提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)特性并對人們?nèi)绾文軌驈氖聰?shù)學(xué)活動作出解釋的綜合觀點。”顯然，這也就表明了，方法論的問題何以會在數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代研究中占據(jù)特別重要的位置。

4.動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀對于靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀的取代。

盡管邏輯主義等學(xué)派對什么是數(shù)學(xué)的最終基礎(chǔ)有著不同的看法，但是，從總體上說，他們所體現(xiàn)的又都可以說是一種靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀，因為，他們都希望能通過自己的工作為數(shù)學(xué)奠定一個“永恒的、可靠的基礎(chǔ)”，這樣，數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展也就可以被看成無可懷疑的真理在數(shù)量上的單純積累。

如果說靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀在基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)的地位，那么，由于把著眼點轉(zhuǎn)移到了實際的數(shù)學(xué)活動，人們現(xiàn)已不再把數(shù)學(xué)的發(fā)展看成是無可懷疑的真理在數(shù)量上的簡單積累；與此相反，作為人類的一種創(chuàng)造性活動，數(shù)學(xué)發(fā)展顯然是一個包含有猜測、錯誤和嘗試、證明和反駁、檢驗與改進的復(fù)雜過程，并依賴于個體與群體的共同努力。從而，這種動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀就已逐漸取代傳統(tǒng)的靜態(tài)的和絕對主義的數(shù)學(xué)觀在這一領(lǐng)域中占據(jù)了主導(dǎo)的地位。

綜上可見，相對于基礎(chǔ)主義而言，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)無論就研究問題、研究方法，或是就研究的基本立場和主要觀念而言，都已發(fā)生了質(zhì)的變化。因而，我們可以明確地斷言：在數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展中已經(jīng)發(fā)生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來自科學(xué)哲學(xué)的影響有著十分緊密的聯(lián)系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的特殊重要性。

【參考文獻】

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數(shù)學(xué)研究論文范文第2篇

例1(湖南湘潭市)如圖1，將一副七巧板拼成一只小貓，則下圖中∠AOB=.

解析觀察發(fā)現(xiàn)這里正方形內(nèi)的七巧板有5塊是等腰直角三角形，1塊正方形和1塊銳角為45°的平行四邊形。利用數(shù)字標(biāo)出組成正方形和小貓的七巧板之間的對應(yīng)關(guān)系，如圖2所示，∠AOB內(nèi)部的兩塊是等腰直角三角形，則∠AOB=90°.

例2(湖北荊門市)用四個全等的矩形和一個小正方形拼成如圖3所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,若用x，y表示矩形的長和寬(x＞y)，則下列關(guān)系式中不正確的是()

(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．

解析觀察拼圖3可發(fā)現(xiàn):大正方形的邊長是矩形的長和寬之和；小正方形的邊長是矩形的長和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長是12,即x+y=12①；由小正方形的邊長是4可知其邊長是2,即x-y=2②,因此選項A和B的關(guān)系式均正確.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案為選擇D.

點評例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應(yīng)原型的，這里改編成中考試題可謂老樹發(fā)新枝。事實上學(xué)生若能認(rèn)真觀察圖形的本身特點進而找到相應(yīng)數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確解答并不是件難事。

2與多邊形、圓相結(jié)合,注重考察學(xué)生對幾何性質(zhì)的綜合運用.

例3(陜西省)如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系是．

解析此題中所求三個正方形的面積S1、S2、S3之間的關(guān)系實質(zhì)是求梯形ABCD的兩個腰長及上底邊邊長

三者的平方關(guān)系.可利用梯形的高來建立橋梁

作用.如圖5，分別過點

A、B做AEDC,BFDC,

垂足分別為E、F.設(shè)

梯形ABCD的高為h,

AB=a,DE=x,則DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可證得AED∽CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.

例4(江蘇南通市)在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設(shè)計了如圖6所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計了如圖7所示的方案二．（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）

（1）請說明方案一不可行的理由；

（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由．

解析(1)因為扇形ABC的弧長＝×16×2π＝8π，因此圓的半徑應(yīng)為4cm．由于所給正方形紙片的對角線長為cm，而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為cm，由于，所以方案一不可行．

(2)設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，則①,②,由①②，可解得，．故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm．

點評將正方形與多邊形、圓結(jié)合是中考中出現(xiàn)頻率較高的題目。此類題目涉及知識點較多，跨度較大，需要學(xué)生具有較為扎實的基本功，具有綜合運用相關(guān)數(shù)學(xué)知識的能力。

3與“動點問題”相結(jié)合,注重考察學(xué)生對不變因素的探究能力.

例5(湖北武漢市)正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PFCD于點F。如圖8，當(dāng)點P與點O重合時，顯然有DF＝CF．

(1)如圖9，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PEPB且PE交CD于點E.

①求證：DF＝EF；

②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點E。請完成圖10并判斷(1)中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）

解析(1)①如圖11過點P做PHBC,垂足為點H,連接PD.此時四邊形PFCH為正方形.容易證出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC，進一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因為PEDC,可證得DF=FE.

②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因為PF∥AD,有,將DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.

(2)連接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分別為F、H,在DC延長線上取一點E,使得PEPB.此時有結(jié)論①DF=EF成立.而結(jié)論②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC關(guān)系.證明與②類似,略.

點評動點問題是中考熱點問題之一，它要求學(xué)生善于抓住運動變化的規(guī)律性和不變因素，把握運動與靜止的辨證關(guān)系.例5中,無論動點P在線段AC上如何運動,∠BPE是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.

4與對稱、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合,注重考察學(xué)生變換的數(shù)學(xué)思想.

例6（重慶市）如圖13，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合.展開后，折痕DE分別交AB、AC于點E、G，.連接GF.下列結(jié)論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正確結(jié)論的序號是.

解析由題意可知AED和FED關(guān)于ED所在的直線對稱,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.則∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,則AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四邊形AEFG是菱形.設(shè)AE=k,容易證得EFB和OGF均是等腰直角三角形，則EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正確的結(jié)論是①、④、⑤，其余結(jié)論顯然不成立。

例7（黑龍江齊齊哈爾市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,DC（或它們的延長線）于點M,N．當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時（如圖14），易證BM+DN=MN．

（1）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖15），線段BM,ND和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．

（2）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖16的位置時，線段BM,ND和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

解析(1)如圖17，把AND繞點A順時針90°，得到ABE，則有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.進而可證得：AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.

(2)線段BM,ND和MN之間存在MN=DN－MB.

點評平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對應(yīng)的邊、角均相等.巧妙的運用變換的基本性質(zhì)或構(gòu)造變換圖形，均可以使題目的解答簡易而順暢.

5與函數(shù)圖象相結(jié)合,注重考察學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

例8（湖南長沙市）在平面直角坐標(biāo)系中，一動點P（x，y）從M（1，0）出發(fā)，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四點組成的正方形邊線（如圖18）按一定方向運動。圖19是P點運動的路程s（個單位）與運動時間（秒）之間的函數(shù)圖象，圖20是P點的縱坐標(biāo)y與P點運動的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分.

（1）s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：；

（2）與圖20相對應(yīng)的P點的運動路徑是：；P點出發(fā)秒首次到達點B；

（3）寫出當(dāng)3≤s≤8時，y與s之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖16中補全函數(shù)圖象.

解析（1）圖19是正比例函數(shù)圖象，易求得s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=(t≥0)

（2）從圖20的函數(shù)圖象可以看出，動點P的縱y在運動時隨時間t的增大開始時逐漸增大，而后又不變，最后又減小至0，說明P點在正方形的運動路徑是：MDAN.由圖18、19可知，P點從點M運動到點B的路程為5，速度為0.5，所以首次到達點B需要時間為10秒.

(3)結(jié)合圖18和圖20，分析可得，第1秒之前，動點P從點M向點D處運動；第1至3秒時，動點P從點D向點A處運動；第3至5秒時，動點P從點A向點B處運動；第5至7秒時，動點P從點B向點C處運動；第7至8秒時，動點P從點C向點M處運動.時間段不同，函數(shù)關(guān)系不同，因此列分段函數(shù)為：當(dāng)3≤s＜5，y=4－s；當(dāng)5≤s＜7，y=－1；當(dāng)7≤s≤8，y=s－8．補全的函數(shù)圖象如圖21.

點評函數(shù)圖象問題是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)，在中考試卷中也往往作為具有一定區(qū)分度的題目出現(xiàn)。例8是一個分段函數(shù)問題，其關(guān)鍵是依據(jù)函數(shù)圖象弄清楚點P在正方形ABCD上的哪一段運動,坐標(biāo)與時間、路程如何變化.

6與實際問題相結(jié)合,注重考察學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力.

例9（湖北荊門市）某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖21所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖22所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．

(1)判斷圖22中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；

(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最??？

解析：(1)四邊形EFGH是正方形．圖22可以看作是由四塊圖21所示地磚繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的,故CE=CF=CG=CH．因此CEF是等腰直角三角形.所以因此四邊形EFGH是正方形.

數(shù)學(xué)研究論文范文第3篇

[論文摘要]:愛因斯坦說過“興趣是最好的老師”。數(shù)學(xué)概念引入的好壞往往直接影響著學(xué)生對整個概念理解的效果，好的引入可以集中學(xué)生的注意力，啟發(fā)他們的學(xué)習(xí)動機，使學(xué)生聽課能抓住重點，產(chǎn)生強烈的求知欲望。文章主要針對數(shù)學(xué)概念的引入舉例講授幾種常見的方法并且分析其優(yōu)點。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細胞，是形成數(shù)學(xué)知識體系的基本要素，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心。數(shù)學(xué)定理、公式和方法都是反映數(shù)學(xué)對象和數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系，只有具有正確明晰的概念，才能牢固的掌握基礎(chǔ)知識。同時，在深入理解數(shù)學(xué)概念的過程中使得學(xué)生的抽象思維得到發(fā)展。在教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)概念有一個準(zhǔn)備過程，這個過程就稱為“概念的引入”。

一、從與概念有關(guān)的趣事引入

興趣可以喚起某種動機，興趣可以培養(yǎng)人的意志，改變?nèi)说膽B(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。因此我們在備課時要充分挖掘知識的趣味因素，找一些有關(guān)本節(jié)概念的，易于理解的趣題作引例，牢牢抓住學(xué)生注意力，調(diào)動其積極思維，使學(xué)生既對概念感興趣，又大致了解這個概念的知識用途。

舉例說明：介紹“點的軌跡”。老師事先準(zhǔn)備好一段麻繩和一個彩色小球，將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉(zhuǎn)。這樣一來，學(xué)生注意力一下子被吸引，并且表現(xiàn)出極大興趣。老師在講桌前站定后，便立即停止演示，隨后要求學(xué)生解釋剛才的現(xiàn)象。學(xué)生的思維被調(diào)動起來。在對學(xué)生的解釋作出評價后，引出課題“點的軌道”然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活中常見的“點的軌道”現(xiàn)象給下定義。這樣，一個抽象的概念就在有趣的實驗中得到充分的展示，學(xué)生對于點的軌跡也有了形象的理解。從實物引入概念，反映了概念的物質(zhì)性、現(xiàn)實性，符合認(rèn)識規(guī)律，給學(xué)生留下的印象比較深刻持久。

二、問題引入

波利亞說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟。先提出一個典型問題，讓學(xué)生動腦思考，在問題的解決中引入概念，使得學(xué)生對概念的理解更加深入。

舉例說明：按比例分配的概念。在學(xué)習(xí)按比例分配時，老師可以提出這樣的問題：“同學(xué)們，今天老師帶了12個乒乓球作為禮物送給3個同學(xué)，應(yīng)該如何分配？”“平均分?！薄凹偃绨堰@12個乒乓球作為獎品，獎給在運動會中獲得一二三等獎的同學(xué)，又該如何分配呢？”在學(xué)生積極思考后，老師可以說：“其實，在我們的日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟建設(shè)等各項工作中，都會遇到很多不能平均分配的問題。例如，我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會一樣多嗎？”由此就可以引出按照比例分配的概念，這樣使得學(xué)生在思考的過程中加深對概念的理解！

三、舊知引入

中國古典小說，在每章節(jié)末說，“要知后事如何？且聽下回分解”。在每回開頭“上回講到------且說-------?！倍潭痰膸拙湓?，承先啟后，銜接自然，使人看了上章想看下章，恨不得一口氣把這本書讀完。這種古老的說書技巧，也可以用來引入概念，使新舊概念自然街按，連為一體。

舉例說明：幾何概念的貫穿。在學(xué)習(xí)幾何知識時，按照一條線----二條線（平行與垂直）------三條線（三角形）-----四條線（四邊形）-----多于四條線（多邊形）-----圓這樣的結(jié)構(gòu)，且用數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系作支柱，隨著知識的增加，新知識不斷納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。比如還可以在已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平行四邊形”的概念的基礎(chǔ)上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式給出，讓學(xué)生主動地與自己的頭腦中原有的知識相互聯(lián)系、相互作用，理解它的意義，從而獲得新概念。

四、聯(lián)系實際引入

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“數(shù)學(xué)教育應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，將數(shù)學(xué)與學(xué)生生活、學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，學(xué)習(xí)有活力的、活生生的數(shù)學(xué)”。那么，用生活中的實際例子來引入數(shù)學(xué)概念，聯(lián)系生活實際講數(shù)學(xué)，把生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化，把數(shù)學(xué)問題生活化，更有利于學(xué)生掌握和理解概念。

舉例說明：比例的意義與性質(zhì)。老師說：“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了比，在我們?nèi)梭w上有許多有趣的比。例如：拳頭滾動一周的長度與腳的長度的比是1：1，身高和胸圍長度比大約是2：1。這些有趣的比作用非常大，比如你到商店去買襪子，只要將襪底在你的拳頭上繞一周，就會知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識來計算的，今天我們就來研究比例的意義和性質(zhì)?！崩蠋熯x取一些生動形象的實際例子來引入數(shù)學(xué)概念，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動機，又符合學(xué)生由感性到理性的認(rèn)識規(guī)律。

五、通過類比引入

根據(jù)新舊知識的連結(jié)點、相似點，采用類比的方法引入概念。數(shù)學(xué)有著嚴(yán)密的科學(xué)體系，數(shù)學(xué)知識的連貫性很強，多數(shù)概念都產(chǎn)生于或者發(fā)展與相應(yīng)的原有知識的基礎(chǔ)上，所以用類比引入新概念有利于學(xué)生在思維中將一定的知識和技能從已知的對象遷移到未知的對象上去，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力。

舉例說明：（1）類比“方程”和“不等式”：方程：含有未知數(shù)的等式；不等式：表示兩個數(shù)或兩個代數(shù)式不相等的算式。（2）類比“分?jǐn)?shù)”和“分式”：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分母表示把一個物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式。這種方法導(dǎo)入自然，使學(xué)生能從類推中促進知識的遷移，發(fā)現(xiàn)新知識，從而掌握新知識。

參考文獻

[1]吳憲芳.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].湖北教育出版社,2005.

數(shù)學(xué)研究論文范文第4篇

1.創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)興趣

以創(chuàng)設(shè)情境為主線，根據(jù)教材的特點、教學(xué)的方法和學(xué)生的具體學(xué)情，把學(xué)生引入一種與問題有關(guān)的情境中，讓學(xué)生通過觀察，不斷積累豐富的感性認(rèn)識，讓學(xué)生在實踐感受中逐步認(rèn)知，發(fā)展，乃至創(chuàng)造，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中情境教學(xué)的運用，可以達到提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的目的。教育學(xué)家烏申斯基說：沒有絲毫興趣的強制學(xué)習(xí)，將會扼殺學(xué)生探求真理的欲望。興趣是學(xué)習(xí)的重要動力，也是最好的老師。在實踐中，我經(jīng)常巧妙地創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從害怕數(shù)學(xué)到愛學(xué)數(shù)學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，取得了事半功倍的效果。如常常用實際問題或設(shè)置懸念導(dǎo)入新課來激發(fā)學(xué)生的求知欲；或者在教學(xué)過程中為研究需要而臨時產(chǎn)生一些嘗試性的研究活動，以及在教學(xué)過程中，學(xué)生提出了意想不到的觀點或方案等。顯然，關(guān)鍵在教師要創(chuàng)設(shè)好問題情境，必須要從學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣出發(fā)，

要從知識的形成過程出發(fā)，要貼近學(xué)生生活，要帶有激勵性和挑戰(zhàn)性。只有這樣，才能引發(fā)學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)，使學(xué)生的認(rèn)知過程和情感過程統(tǒng)一起來。

2.自主探究，建構(gòu)新知

“以學(xué)生的發(fā)展為本”是新課程理念的最高境界，要發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生能力，教師在教學(xué)過程中，始終把學(xué)生放在主體的位置，教師所做的備課、組織教學(xué)、教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)過程的設(shè)計、教學(xué)方法的選用等等工作，都從學(xué)生的實際出發(fā)，要在課堂上最大限度地盡量地使學(xué)生動口、動手、動腦，極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，養(yǎng)成良好的自學(xué)習(xí)慣，培養(yǎng)刻苦鉆研精神。促進學(xué)生主動參與、主動探索、主動思考、主動實踐。如果創(chuàng)設(shè)的情境達到了前面的要求，那么學(xué)生會自然地產(chǎn)生一種探究的欲望。教師只要適當(dāng)?shù)亟M織引導(dǎo)，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自主地嘗試、操作、觀察、動手、動腦，完成探究活動。因為學(xué)生是信息加工的主體，是意義的主動建構(gòu)者，教師是學(xué)生意義建構(gòu)的幫助者、促進者。

3.合作交流，完善認(rèn)知

在教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，合作小組內(nèi)自主探索、交流、對話，獲得成效。小組之間互相交流、評價，達到教學(xué)互動、互促，形成比、學(xué)、趕、幫的學(xué)習(xí)氛圍，從而使學(xué)生在合作交流的過程中學(xué)會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果，體會在解決問題過程中與他人合作的重要性和感受獲得成功的喜悅。組織學(xué)生合作交流要注意以下幾點：①合理分組。按學(xué)生學(xué)習(xí)可能性水平與學(xué)生品質(zhì)把學(xué)生分成不同層次，實行最優(yōu)化組合，組建“學(xué)習(xí)合作小組”；②培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的合作技能。即要提出合作建議讓學(xué)生學(xué)會合作，小組合作交流要充分體現(xiàn)學(xué)生的自主性，而且要求學(xué)生按一定的合作程序有效地開展活動；③教師的激勵性的評價是進一步促進合作的催化劑。評價應(yīng)是更多地重視對小組的評價，注重小組成員的參與度及活動結(jié)果中的成果，從而培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，縮小優(yōu)差生的距離；④教師要參與學(xué)生的小組活動。教師既要巡視并檢查學(xué)生對問題的解決情況，又要收集學(xué)生的學(xué)習(xí)信息，以便適時引導(dǎo)、點撥，促進其思維的不斷深化，完善認(rèn)知。

數(shù)學(xué)研究論文范文第5篇

關(guān)鍵詞：新課改疑慮問題

新一輪基礎(chǔ)教育改革給我們每一位教師帶來了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)和不可多得的機遇。本次課程改革，不僅改變了教師的教育觀念，而且還改變了老師們每天都在進行著的習(xí)以為常的教學(xué)方式、教學(xué)行為。因此，對我們每一位教師提出了更高的要求，教師只有在教學(xué)中解決了這幾方面的問題，才能更好地開展教學(xué)。

一、課堂教學(xué)中探究學(xué)習(xí)實施的疑慮

疑慮一:關(guān)于探究中的錯誤

傳統(tǒng)教育是"永遠正確"的教育，是消滅錯誤、鄙視錯誤的教育，這種教育讓學(xué)生在錯誤面前得到的是緊張、羞愧，而不是理性的分析與反思?？茖W(xué)的歷程正是在無數(shù)的失敗與對成功的批判中發(fā)展的。教育背景中學(xué)生的失敗是讓他們掌握得到真理方法的重要途徑，美國教育家杜威說過："失敗是有教導(dǎo)性的。真正懂得思考的人，從失敗和成功中學(xué)得一樣多。"所以，教師要善待學(xué)生在探究中的錯誤，要指導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)錯誤，并以此引導(dǎo)他們掌握驗證的方法與對錯誤的坦誠態(tài)度。

疑慮二：關(guān)于學(xué)生探究前的知識基礎(chǔ)

探究學(xué)習(xí)不僅需要一定的知識為基礎(chǔ)，而且要求學(xué)習(xí)者具備應(yīng)用知識的能力。但是，我們不能因為學(xué)生缺乏知識基礎(chǔ)，就放棄探究學(xué)習(xí)本身，實際上，科學(xué)家在進行某項科學(xué)探究活動前，也不一定就完全具備了進行探究的知識基礎(chǔ)，他必須在探究中不斷學(xué)習(xí)，才能彌補知識上的缺陷。所以，在學(xué)生進行探究活動前，教師要做充分的準(zhǔn)備，特別需要了解：

（1）即將進行的探究學(xué)習(xí)需要的知識基礎(chǔ)是什么？

（2）目前學(xué)生的知識基礎(chǔ)能夠達到什么水平？還缺少哪些？

（3）學(xué)生可以通過什么途徑掌握那些知識？

（4）不同基礎(chǔ)的學(xué)生可能存在的差異是什么？

疑慮三：關(guān)于探究能力

能力的形成需要一個過程，這一點大多數(shù)教師都有親身體會，不論是培養(yǎng)學(xué)生解數(shù)學(xué)題的能力，還是解決物理問題的能力，或者是語文教師提高學(xué)生寫作的能力，都需要一個較長的過程。探究能力也是如此，應(yīng)當(dāng)盡可能早地進行這種能力的培養(yǎng)，最好從幼兒園、小學(xué)就開始。可惜的是，過去幼兒園與小學(xué)還不夠重視，因此進入初中的學(xué)生非常缺乏探究的經(jīng)驗與能力。這就需要我們教師們花費一定的時間補上這一課。

疑慮四：關(guān)于教學(xué)進度

要花時間，必然影響教學(xué)進度。問題是：大多數(shù)學(xué)校在安排每學(xué)年教學(xué)進度時，并沒有考慮這一點。還是按照大綱中的知識要求與課本知識章節(jié)排出一學(xué)年的教學(xué)進度。這種以知識為中心的進度安排，本身就違背了新課程以能力發(fā)展為核心的要求。因此，要面對本地本校的實際，實事求是地構(gòu)建切實可行的課改方案。我認(rèn)為：每學(xué)期開頭的幾周要將進度放慢一點，特別是起始年級，要調(diào)查研究這個年級學(xué)生探究能力的基本水平，選擇本學(xué)習(xí)期望達到的能力目標(biāo)，在開學(xué)的三周內(nèi)，進行必要的探究技能，包括：自學(xué)、討論、圖書資料查詢、網(wǎng)絡(luò)運用、解釋、實驗等）培訓(xùn)。后面的教學(xué)再進一步強化學(xué)科探究的技能，一旦學(xué)生能力形成，學(xué)習(xí)的效率必然會得到提高，教學(xué)進度的問題也就好解決了。

疑慮五：關(guān)于探究學(xué)習(xí)的尺度

在探究學(xué)習(xí)的視野中，課本就是探究的資源之一，但是，僅僅坐在課堂里，是得不到探究學(xué)習(xí)所需要的豐富資源的。探究學(xué)習(xí)需要學(xué)生走出教室，走進大自然、走進社會、走進圖書館、走進實驗室、走進網(wǎng)絡(luò)世界。不過，不論學(xué)生走到哪里，學(xué)校與教師依然要重視資源的開發(fā)問題。教師可以篩選確定適合學(xué)生水平的資源庫。當(dāng)然，學(xué)生親身經(jīng)歷對自然或社會的探究，收集第一手的資料，與在圖書館、網(wǎng)絡(luò)或資源庫的第二手資料結(jié)合起來，因為，這兩種資料及其收集能力，都有不可替代的價值。

疑慮六：關(guān)于探究學(xué)習(xí)的資源開發(fā)

在探究學(xué)習(xí)的視野中，課本就是探究的資源之一，但是，僅僅坐在課堂里，是得不到探究學(xué)習(xí)所需要的豐富資源的。探究學(xué)習(xí)需要學(xué)生走出教室，走進大自然、走進社會、走進圖書館、走進實驗室、走進網(wǎng)絡(luò)世界。這就要求學(xué)校與教師依然要重視資源的開發(fā)問題，精心選擇最有利于學(xué)生進行探究學(xué)習(xí)的教學(xué)平臺，教師還可以篩選確定適合學(xué)生水平的資源庫。當(dāng)然，學(xué)生親身經(jīng)歷對自然或社會的探究，收集第一手的資料，要與在圖書館、網(wǎng)絡(luò)或資源庫的第二手資料結(jié)合起來，因為，這兩種資料及其收集能力，都有不可替代的價值。

疑慮七：關(guān)于考試與評價制度改革

考試與評價改革似乎是教師們反對探究學(xué)習(xí)最有力的理由，但是，高考已經(jīng)發(fā)展到能力為評價核心的階段，注重能力的培養(yǎng)將逐步成為教學(xué)的中心任務(wù)，考試與評價制度本身將進行改革，學(xué)分制等更注重學(xué)習(xí)過程的發(fā)展性評價，將取代過去以考試為主的評價。新的評價機制主要突出兩點：一是強調(diào)綜合評價；二是強調(diào)過程性評價。用發(fā)展的眼光對學(xué)生進行評價。在強調(diào)綜合性評價，過程性評價的同時，也不要忽視必要的甄別和選拔考試，只是不要把它看成唯一的標(biāo)準(zhǔn)。目前，我國還沒有取消甄別和選拔考試，選拔考試仍然是我國選拔人才有效的辦法之一。

二、課堂教學(xué)中教師存在問題

問題一：流于形式。教師已經(jīng)有意識地把新課程引入課堂，但是，仔細觀察就會發(fā)現(xiàn)，在部分教師的課堂上，只是一種形式，缺乏實質(zhì)性改變。教學(xué)只求“表面熱鬧”。有的教師上課表面看起來課堂氣氛異?；钴S，盲目追求課堂教學(xué)中提問題的數(shù)量，一定程度上忽視了學(xué)生的參與度不均衡，學(xué)生間的合作不夠主動等問題，不能給學(xué)生充裕的時間，忽視對學(xué)生技能的訓(xùn)練與培養(yǎng)。其實，“活而不亂”才是新課程背景下課堂教學(xué)追求的理想目標(biāo)。

問題二：過于追求教學(xué)的情境化。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，不僅可以使學(xué)生容易掌握數(shù)學(xué)知識和技能，而且可以使學(xué)生更好地體驗教學(xué)內(nèi)容中的情感，使原來枯燥的、抽象的數(shù)學(xué)知識變得生動形象、饒有興趣。但部分教師過于注重教學(xué)的情境化，為了創(chuàng)設(shè)情境可謂是“冥思苦想”，好像數(shù)學(xué)課脫離了情境，就不是新課程理念下的數(shù)學(xué)課。事實說明，有些教師辛辛苦苦創(chuàng)設(shè)的情境，并沒有起到應(yīng)有的作用。往往因為被老師創(chuàng)設(shè)的情境所吸引，而久久不能進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

問題三：教師在課堂上不敢張口講話。不知從何時起，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)很忌諱老師的“講”。不少老師把“少講”或“不講”作為平時教學(xué)的一個原則，因為他們知道，講了就會有“灌輸”“填鴨”之嫌。從學(xué)習(xí)方式看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以分為兩種基本形式：一種是有意義的接受學(xué)習(xí)，一種是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。無論是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，還是有意義的接受學(xué)習(xí)都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要學(xué)習(xí)方式。在改革的同時，我們要注意對傳統(tǒng)的繼承和發(fā)展。課堂上是不是講，真正的問題在于講什么、怎樣講。一般來說，陳述性的、事實性的知識，可以讓學(xué)生運用接受學(xué)習(xí)的方法進行學(xué)習(xí)。教師該引導(dǎo)的要引導(dǎo)，該問的要問，該點的要點，該講的要講，要充分發(fā)揮教師和學(xué)生兩方面的主動性和創(chuàng)造性。

問題四：教學(xué)過于追求手段現(xiàn)代化。運用多媒體計算機輔助教學(xué)，能較好地處理好大與小，遠與近，動與靜，快與慢，局部與整體的關(guān)系，使學(xué)生形成鮮明的表象，啟迪學(xué)生的思維，擴大信息量，提高教學(xué)效率。為此，講課教師不惜花費一周甚至數(shù)周的時間精心制作課件?？山Y(jié)果并不理想，有的課件不過是課本搬家，只是起到了替代小黑板的作用；有的教師把界面搞得五彩繽紛，以為這樣可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)果適得其反，學(xué)生的注意力被鮮艷的色彩所吸引，忘記了聽老師講課，而忽略了課堂教學(xué)中應(yīng)掌握的知識。計算機輔助教學(xué)要用在點子上，要注重實效。使用新技術(shù)并不一定代表新的教學(xué)思想。屏幕不能代替必要的板書，學(xué)具操作不能代替必要的教具演示，教師只有把現(xiàn)代化教學(xué)手段與傳統(tǒng)的教學(xué)手段（教具、學(xué)具、黑板）有機結(jié)合起來使用，優(yōu)勢互補，使教學(xué)手段整體優(yōu)化，才能提高課堂教學(xué)效率。