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高中函數(shù)范文第1篇

【關鍵詞】高中數(shù)學；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；課程標準；國際比較

1研究問題

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是三類重要的基本初等函數(shù)，因此也是高中數(shù)學課程中的基礎內容之一.近年來，我們對中國、澳大利亞、芬蘭及法國、美國、英國等國家數(shù)學課程標準、教科書進行了量化比較研究[1-3].本文是這一系列研究的一部分，主要針對高中數(shù)學課程標準中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)內容，以課程標準中的內容主題及認知要求為切入點，對澳大利亞、加拿大、芬蘭、法國、德國、日本、韓國、荷蘭、南非、英國、美國、中國這十二個國家高中階段的數(shù)學課程標準進行比較分析.具體來說，本文主要研究以下問題：各個國家冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)內容的廣度和深度分別是多少，有何特征？這些國家是如何對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的內容進行設置的？1.1研究對象與方法

研究國家和數(shù)學課程標準版本的選取

本文主要選擇了五大洲以下12個國家的數(shù)學課程標準作為研究對象，具體國別分別是：（亞洲）中國、日本、韓國；（歐洲）法國、芬蘭、英國、德國、荷蘭；（美洲）美國、加拿大；（非洲）南非；（大洋洲）澳大利亞.這12個國家來自不同的洲，擁有著不同的人文背景和社會環(huán)境，經(jīng)濟發(fā)達程度也不盡相同，可以很好地展示不同國家數(shù)學課程標準的共性與差異.所選取的高中數(shù)學課程標準文本材料主要來源于曹一鳴、代欽、王光明教授主編的《十三國數(shù)學課程標準評介（高中卷）》[4]，選擇國際比較樣本的主要依據(jù)是大部分高中生升學時所必須要求的內容，其別關注理科、工程類學生.具體所選擇的版本如下：

1.2研究工具及方法

本文采用定量分析和定性分析相結合的方法，具體的研究方法有定性分析中的個案研究法和比較研究法，以及定量分析中的統(tǒng)計分析法.按照課程論學者泰勒的思想，主要從“內容主題”和“認知要求”兩個方面進行研究.

（一）廣度

課程廣度是指課程內容所涉及的領域和范圍的廣泛程度.為了便于統(tǒng)計結果，本文利用下面的公式計算課程標準的廣度.

G=aimax{ai}

，其中ai表示各個國家的知識點數(shù)量總和，即廣度值，max{ai}表示所有國家的課程標準廣度值中的最大值.

廣度的統(tǒng)計涉及到對知識點的界定，由于我國對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)知識點的處理比較系統(tǒng)和詳細，本文以我國高中數(shù)學課標中冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)內容為主，并結合其他國家數(shù)學課程標準中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)內容，逐步形成完善的知識點框架，并統(tǒng)計各個知識點的平均深度值.

（二）深度

課程深度泛指課程內容所需要達到的思維深度.我國課標對知識與技能所涉及的行為動詞水平分為了解、理解和掌握三個層次，并詳細說明了各個層次對應的行為動詞.很多國家的課標并未對教學內容的具體要求上做出明確的劃分層次.綜合我國對教學內容要求層次的劃分方式，并參考新修訂的布盧姆教育目標分類學[11]，本文提出認知要求維度的分類為：A.了解；B.理解；C.掌握；D.靈活運用.將每個知識點的深度由低到高分為四個認知要求層次：了解、理解、掌握、靈活運用，并規(guī)定水平權重分別為 1、2、3、4.然后，利用下面的公式計算課程標準的深度.

S=∑4i=1nidin∑4i=1ni=n；i=1，2，3，4

其中，di=l，2，3，4 依次表示為“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活應用”這四個認知要求層次；ni表示儆詰di個深度水平的知識點數(shù)，ni的總和等于該課程標準所包含的知識點數(shù)總和n，從而得出課程標準的深度.

3高中課標中函數(shù)內容比較研究結果

3.1冪函數(shù)內容的廣度、深度比較結果

3.3對數(shù)函數(shù)內容的廣度、深度比較結果

中國、澳大利亞、日本、韓國和荷蘭在對數(shù)函數(shù)的廣度統(tǒng)計中排名靠前.這些國家課標都提及對數(shù)的概念及運算，對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質，反函數(shù)的概念.另外，中國還要求反函數(shù)的定義域、值域、圖象以及對數(shù)函數(shù)的應用，而澳大利亞、日本、韓國、荷蘭對反函數(shù)的定義域和值域不作要求.法國、南非處于中間層次.這兩個課標都不涉及對數(shù)的概念和運算、對數(shù)表、對數(shù)的應用.在反函數(shù)方面，法國只講解其概念和圖象，南非還講解其定義域、值域.美國、芬蘭、德國在對數(shù)函數(shù)部分的知識點數(shù)相差不多，但側重點不一樣.美國側重于反函數(shù)內容，德國側重于對數(shù)的概念和運算，芬蘭側重于對數(shù)函數(shù)的概念和性質.加拿大和英國排在最后，加拿大只提到了對數(shù)函數(shù)的概念，而英國在對數(shù)函數(shù)部分的知識點數(shù)為零.

3.4冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的內容設置

從整體上來看，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高中階段要學習的比較重要的基本初等函數(shù)，也是刻畫現(xiàn)實世界的幾類重要模型，另外，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的學習有助于加深學生對函數(shù)概念的理解和應用.有些國家并未把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)作為連續(xù)內容出現(xiàn)在課程標準中，說明它們之間并無必要的邏輯關系.

對于冪函數(shù)這部分內容，除澳大利亞、芬蘭、荷蘭、英國、中國提及“冪函數(shù)”以外，有些國家并沒有提到冪函數(shù)，如加拿大、印度、俄羅斯、新加坡、南非、德國.有些國家則以其他函數(shù)形式代替：法國以多項式函數(shù)出現(xiàn)；日本沒有專門的冪函數(shù)概念，則是以分式函數(shù)、無理函數(shù)形式出現(xiàn)，安排在《數(shù)學Ⅲ》中，而且三角函數(shù)安排在指對數(shù)函數(shù)之前；韓國也沒有專門的冪函數(shù)概念，則是以分式函數(shù)、無理函數(shù)形式出現(xiàn)；美國以根式函數(shù)出現(xiàn).對于冪函數(shù)的處理，一直存在著爭議，中國之前刪除了冪函數(shù)的內容，現(xiàn)在又把這部分的內容加回來，有利于完善高中涉及的函數(shù)模型，便于學生在利用函數(shù)模型解決實際問題時考慮更全面，所以中學生需要對冪函數(shù)有初步的認識.像美國以根式函數(shù)、法國以多項式函數(shù)、日本以分式函數(shù)和無理函數(shù)、韓國以分式函數(shù)和無理函數(shù)等其他具體函數(shù)形式代替冪函數(shù)內容，這樣處理的好處不僅在于具體實用，便于數(shù)學模型的建立，而且與高等數(shù)學的聯(lián)系緊密，這一點值得我們借鑒.

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)部分的概念原理無論在表述上還是數(shù)量上，各國都不盡相同.除芬蘭是單獨講解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)以外，大部分國家都是先學習指數(shù)函數(shù)，然后利用反函數(shù)或互逆關系來引出對數(shù)函數(shù)，這樣使得對數(shù)函數(shù)的學習變得容易了.其中，澳大利亞把指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)進行對比學習，沒有利用互為反函數(shù)來解釋；法國在指對數(shù)函數(shù)上求導數(shù)等.還有一些國家注重和生活情境相聯(lián)系，如德國、荷蘭.英國在名稱上有所不同，以“指數(shù)型函數(shù)”名稱出現(xiàn).美國強調利用指對數(shù)函數(shù)進行建模.針對指對數(shù)函數(shù)的具體說明如下.

4結束語

我國從2003年進行高中數(shù)學課程改革，到目前已經(jīng)進行了十余年的實踐，并取得顯著成效，通過國際比較研究來審視我國高中數(shù)學課程改革的特色和不足，從而為接下來我國高中數(shù)學課程改革的推進提供參考.雖然中國在課程的基本理念中提到要發(fā)展學生的數(shù)學應用意識，但落實在具體的函數(shù)模型應用方面，只強調“體會”層次.如對于冪函數(shù)的處理，美國以根式函數(shù)、法國以多項式函數(shù)、日本以分式函數(shù)和無理函數(shù)、韓國以分式函數(shù)和無理函數(shù)等其他具體函數(shù)形式代替冪函數(shù)內容，這樣處理的好處不僅在于具體實用，便于數(shù)學模型的建立，而且與高等數(shù)學的聯(lián)系緊密，這一點值得我們借鑒.

參考文獻

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高中函數(shù)范文第2篇

一、定義

對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x）=f（x+t）都成立，則稱y=f（x）為周期函數(shù)。對此定義的理解，應注意以下幾點：

1.高中教材中關于函數(shù)周期的內容只有定義，這就要求解答題中關于函數(shù)周期的證明只能回到定義中。即必須證明f（x）=f（x+t）成立。

例如，2001年高考數(shù)學（文科）第22題，設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關于x=1對稱，證明：y=f（x）是周期函數(shù)。

證明：依題設y=f（x）關于直線x=1對稱，故f（x）=f（2-x）.

又由y=f（x）為偶函數(shù)，故f（x）=f（-x）。

所以，f（-x）=f（2-x）。將上式中-x代換為x，

則得f（x）=f（x+2）.所以y=f（x）是以2為周期的周期函數(shù)。

2.周期函數(shù)的定義要求對于定義域內的每一個x，都有f（x）=f（x+t）成立，而不是某幾個特殊值，因此函數(shù)定義域必須至少有一側趨于無窮大。即有一側無界。

3.周期函數(shù)的周期肯定有無數(shù)個，若T為周期，則2T，3T，…nT也均為其周期，所以課本中出現(xiàn)了最小正周期的概念。對于一個函數(shù)f（x），如果它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫f（x）的最小正周期。

4.周期函數(shù)可以無最小正周期。如常函數(shù)y=a。

二、周期的判斷公式

解題過程中，要記住周期判斷的幾個變式：

1.f（x+T）=f（x） ？圳y=f（x）的周期為T

2.f（x+a）=f（b+x）（a

3.f（x+a）=-f（x） ？圳y=f（x）的周期為T=2a

4.f（x+a）=（c為常數(shù)） ？圳y=f（x）的周期為T=2a

5.f（x+a）=- ？圳y=f（x）的周期為T=4a

6.f（x+a）=- ？圳y=f（x）的周期為T=4a

7.f（x+2a）=f（x+a）-f（x） ？圳y=f（x）的周期為T=6a

這些都是周期的判斷公式，其基礎都是源于周期函數(shù)的定義。有了這些周期判斷公式后，解決函數(shù)周期問題將變得簡單、方便，下面試舉幾例。

例1.函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x滿足f（x+3）=，若f（-1）=3，f（5）= .

解析：抽象函數(shù)周期推導總是以原恒成立等式推導而出。

解：由題意有f（x+3+3）===f（x）=f（x+6），故函數(shù)是周期函數(shù)，其中一個周期為6，故f（-1）=f（-1+6）=f（5）=3.

三、函數(shù)中對稱性、奇偶性與周期性關系

（1）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）為奇函數(shù)，則其周期為T=4a。

（2）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）為偶函數(shù)，則其周期為T=2a。

以上兩個性質的證明可以參考開篇提到的2001年高考數(shù)學（文科）第22題的證明方法，在此就不重復證明。下面試舉其他幾例，說明它們三者的關系。

1.函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則（ ）

A.f（x）是偶函數(shù) B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）=f（x+2） D.f（x+2）是奇函數(shù)

證明：若f（x+1）是奇函數(shù)，則f（-x+1）=-f（x+1）

因為f（x-1）是奇函數(shù)，則f（-x-1）=-f（x-1）？圳f[-（x+2）-1]=-f[（x+2）-1]=-f（x+1）

則：f（-x+1）=f[-（x+2）-1]=f（-x-3）？圳f（-x+1）=f（-x-3）？圳f（x+1）=f（x-3）

則f（x）是以4為周期的函數(shù)，即：f（x）=f（x+4）

又：f（-x+1）=-f（x+1）？圳f[-（x+4）+1]=-f[（x+4）+1]？圳f（-x-3）=-f（x+5），f（x+5）=f（x-3）

高中函數(shù)范文第3篇

關鍵詞： 高中數(shù)學 函數(shù) 單調性

我國在選擇人才時一般會選擇利用考試進行考核，而高考則是我國人才選拔的第一道也是最重要的一道關卡。而高考中，數(shù)學占有重要地位，根據(jù)以往的高考試卷分析，高考數(shù)學的內容會將較容易的基礎知識點和較難的延伸知識點結合在一起，基礎知識點所占分數(shù)比重較大，而函數(shù)問題又是其中的重中之重，大多數(shù)學生都對其無計可施。因此，教師要在高中數(shù)學教學中，幫助學生解決函數(shù)知識點的相關內容，只有學生充分掌握了，才能夠在高考數(shù)學考試中取得較好的成績。

一、函數(shù)單調性教學的重難點

高中數(shù)學與初中數(shù)學相比難度性大大增加，但是它的知識點也是從生活中演變過來的，能夠在實際生活中得到有效應用。初中數(shù)學作為高中數(shù)學的基礎，比較抽象，難以理解，但是學生在面對高中數(shù)學問題的時候，大可不必過分害怕，只要在學習中找到解題技巧，就可以從中獲取快樂。函數(shù)單調性問題一直是基礎較薄弱的學生的軟肋，它的區(qū)間概念也可以被稱為局部概念，無非就是區(qū)間內的增減性問題，若是教師然學生牢記并理解這一概念，那么學生在學習過程中就會快捷許多。

二、函數(shù)單調性的教學方法

在高中數(shù)學的函數(shù)單調性教學中，概念作為解題的基礎雖然是十分重要的，但是在實際解決問題的時候，方法卻能夠起到解題的決定性作用，因此教師在教學的時候一定要重視解題方法的教學，幫助學生更好更快地得出答案。高考數(shù)學中，每年都會出現(xiàn)的一個知識點中就包括函數(shù)，題目的涵蓋范圍雖然小，變化卻是多樣的。不難發(fā)現(xiàn)，雖然數(shù)學高考中函數(shù)的題目一直在變，但是解題方法沒有什么多大的變化，所以教師在教學中要充分考慮到學生的解題思路，幫助學生在函數(shù)單調性題目中快速地求得答案。

1.合理利用舉例讓學生學會舉一反三

在高中數(shù)學的試卷中，最常出現(xiàn)的題目就是讓學生利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的單調性，或者是求極值問題，這類問題的問法多樣，教師在教學過程中需要舉出一個最典型的題目進行詳細解答，讓學生明白解題的原理，通過公式概念來求。我們一般見到的函數(shù)題目都是由幾個小問題組成一道大題，這些小問題由易到難，可利用的知識點越來越多，教師在講解題目的時候也要遵循這個順序，這樣就可以幫助一些基礎較薄弱的學生拿到函數(shù)問題的基礎分，基礎較扎實的學生拿全分。

求函數(shù)單調性的最值問題及極值問題是高中數(shù)學教學中最基礎的典型例題，而教師可以利用這種典型例題讓學生明白其中的公式原理，幫助學生一步步地掌握知識點解題，從而將混亂的知識點清晰化，做到不失分、不丟分。若是教師按照書本上的知識點進行講解，就過于抽象化。例如，設函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間內可導，如果f（x）>0，則f（x）為增函數(shù)；如果f（x）

2.學會利用草圖幫助解題

每一位高中數(shù)學教師在進行函數(shù)單調性教學的時候都會利用圖形進行講解，但是每一位數(shù)學教師的畫圖方式都不同導致學生的學習方式也不同，但是都需要了解的是，圖形要畫的簡單明了，在較短時間內畫出圖形。若是學生在利用草圖解答的時候，花在圖形上的時間較長，那么解題時間就會被縮短，反而得不償失。例如，一些簡單的函數(shù)選擇填空題就可以利用畫圖快速地得到正確答案。例如，題目中結合了其他的知識點定義區(qū)間，要求學生利用所學知識點求區(qū)間，學生就可以根據(jù)選項將區(qū)間定義出來，畫出草圖，知曉在某一區(qū)間的遞增或是遞減之后，就可以求得這個函數(shù)在哪個區(qū)間遞增或遞減的速度最快，從上升趨勢中得到正確答案。

三、結語

在高中數(shù)學教學過程中，函數(shù)單調性問題作為學生必須掌握的知識點受到學校、家長和老師的極大關注，每一位高中數(shù)學教師在教授到函數(shù)知識點這一章節(jié)的時候都會遇到困難，學生在學習的時候較吃力。因此，高中數(shù)學教師就要從不同角度思考問題，從學生所難以理解的知識點出發(fā)，幫助學生攻克問題，只有教師和學生共同努力，才能夠在合理的時間內科學地完成教學任務。高中數(shù)學教師在教學時不能故步自封，在原有的基礎上要進行教學方法創(chuàng)新，本文主要是從比較常用的兩種方法入手幫助學生解決函數(shù)單調性的問題，教師要考慮到學生的不同接受能力，有選擇地開展教學活動，幫助學生更有效地掌握相關知識點，提高高中數(shù)學成績。

參考文獻：

高中函數(shù)范文第4篇

一、初、高中關于函數(shù)概念一節(jié)的教材對比

我市初二學生使用的滬教版教材在第13章《一次函數(shù)》中設置了三個情境：

情境1.用熱氣球探測高空氣象，設熱氣球從海拔500m處的某地升空，它上升到達的海拔高度h與上升時間v的關系；

情境2.S市某日自動測量儀記下的用電負荷曲線（圖像）；

情境3.某型號的汽車在路面上的剎車距離s與車速v之間的關系。

每個例子后面都設置了兩到三個問題，引導學生發(fā)現(xiàn)每個例子中的兩個變量以及兩個變量之間的關系，對自變量和因變量的范圍沒有做過多的要求和說明。學生容易得出初中函數(shù)的定義：在一個變化的過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個x的值，相應的就確定唯一的一個y值，那么我們稱x是y的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。很顯然，初中函數(shù)概念的“變量說”是以運動觀點描述的，是對函數(shù)概念的感性認識，直觀、感性、貼近生活，符合初中生的認知特點。緊跟著學生又學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具體的函數(shù)。通過學習，函數(shù)給學生留下的印象就是“兩個變量，一個解析式”，而且其中的自變量基本上都具有一定的物理背景。

我們再來看看人教版高中數(shù)學必修一，教材中同樣設置了三個情境：

情境1.炮彈距地面的高度h隨時間t變化的規(guī)律；

情境2.1979～2001年南極上空臭氧層空洞的面積的變化情況（圖像）；

情境3.“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的變化情況（表格）。

在三個情境中都明確給出了其中的兩個變量所在的集合，引導學生從集合、對應的觀點歸納函數(shù)的新定義：一般地，設A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.學生已經(jīng)掌握集合的知識，順理成章地將初中“自變量x的取值范圍”過渡到“定義域”，相對于初中函數(shù)，高中函數(shù)的定義抽象、理性。

二、高中函數(shù)概念的教學策略

（一）從新舊概念沖突入手

由必修一教材中出現(xiàn)的三個例子，學生容易得出函數(shù)的新定義，但事實上這三個例子的自變量都是時間，它們用初中的“變量說”仍然可以得到很好的解釋，那為什么高中還要學習新定義？因此我們可以設計以下兩個情境：

情境1.根據(jù)鐵道部對火車票做出的規(guī)定：身高在1.1以下的乘客免票，身高在1.1～1.5米之間的乘客享受半票，身高在1.5米以上的乘客必須全票，乘客的車票價與身高的關系；

情境2.滁州公交車票價和乘客乘坐的站數(shù)之間的關系。

這兩個情境是日常生活中比較常見的例子，學生可以很快做出判斷。到底這兩個例子是不是函數(shù)關系呢？學生會產生不同的意見，很多學生認為它們都不是函數(shù)，因為情境1中身高在某一范圍內發(fā)生變化時，票價卻是不變的；情境2中票價也不都隨站數(shù)的變化而變化。在這兩個事例中，初中的“變量說”就不能很好地對其進行解釋，而用集合與對應的觀點來理解，就可以十分自然地理解其實以上兩個情境也都是函數(shù)。從這個意義上來說，高中所學的函數(shù)概念更具一般性，它從一個更高的角度來認識函數(shù)，使函數(shù)的知識更加系統(tǒng)起來。學生通過對初高中函數(shù)概念比較、分析的過程，不但加深了對函數(shù)的理解，促使初、高中學習的知識更為有效地銜接起來，形成更為完善的認知結構體系，同時也激發(fā)了學生學習的興趣，提高了學生歸納推理的能力。

（二）函數(shù)符號的突破

函數(shù)符號是學生難以理解的抽象符號之一，它的內涵是“對于定義域中的任意x，在對應關系f的作用下即可得到y(tǒng)”。我們可以把對應法則比喻成加工廠，形象地告訴學生，因變量y實際上是通過f（faction第一個字母）加工出來的，學生就比較容易理解。在有些問題中，對應關系f可用一個解析式表示；但在不少問題中，對應關系f不便于或不能用解析式表示，這時就必須采用其他方式如圖像或表格等。在教學中，可以讓學生通過分析實際問題和動手操作，逐漸認識和理解函數(shù)符號的內涵。例如，將不同情境中的對應關系用同一的符號表示，計算當自變量是數(shù)字、字母不同情況時的函數(shù)值。

在這里強調對應關系和定義域的主導地位，而值域是附屬地位。

高中函數(shù)范文第5篇

一、進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1）

這里不能把?（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設?（x+1）=x2-4x+1，求?（x）

這個問題理解為，已知對應法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

?（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得?（x）=x2-6x+6

（2） 變量代換：它的適應性強，對一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1 （t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而?（x）= x2-6x+6

二、二次函數(shù)的單調性，最值與圖象。

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（-∞，-b2a ]及[-b2a ，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學生配以適當?shù)木毩?，使學生逐步自覺地利用圖象學次函數(shù)有關的一些函數(shù)單調性。

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調性。

（1）y=x2+2|x-1|-1

（2）y=|x2-1|

（3）= x2+2|x|-1

這里要使學生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設?（x）=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出 y=g（t）的圖象

解：?（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取最小值-2

當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

當t>1時，g（t）=?（t）=t2-2t-1

當t

t2-2， （t

g（t）= -2，（0≤t≤1）

t2-2t-1， （t>1）

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域。

三、二次函數(shù)的知識，可以準確反映學生的數(shù)學思維：

類型Ⅴ：設二次函數(shù)?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當X∈（0，x1）時，證明X

（Ⅱ）設函數(shù)?（x）的圖象關于直線x=x0對稱，證明x0< x2 。

解題思路：

本題要證明的是x

（Ⅰ）先證明x

因為00.至此，證得x

根據(jù)韋達定理，有 x1x2=ca 0

即x

（Ⅱ） ?（x）=ax2+bx+c=a（x+-b2a ）2+（c- ），（a>0）

函數(shù)?（x）的圖象的對稱軸為直線x=- b2a ，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b2a ，因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=-b-1a ，x2-1a

x0=-b2a =12 （x1+x2-1a ）