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摘要：抽象函數(shù)是函數(shù)中的一類綜合性較強(qiáng)的問題。這類問題不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，更能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；定義域；值域；對(duì)稱性

抽象函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)概念。我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無法用數(shù)字和字母的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于抽象函數(shù)的問題通常將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖像集于一身。這類問題考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語言的理解和接受能力、對(duì)一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)以及數(shù)學(xué)的綜合能力。

解決抽象函數(shù)的問題要求學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、抽象思維能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)能力較高。所以近幾年來高考題中不斷出現(xiàn)，在2009年的全國(guó)各地高考試題中，抽象函數(shù)遍地開花。但學(xué)生在解決這類問題時(shí)常常感到束手無策、力不從心。下面通過例題全面探討抽象函數(shù)主要考查的內(nèi)容及其解法。

一、抽象函數(shù)的定義域

例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3]，求出函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定義域。

解析：由由a＞0

知只有當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當(dāng)且僅當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g(x)才能是x的函數(shù)，且其定義域?yàn)椋?+a,3-a]。

點(diǎn)評(píng)：1.已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x[a,b]上的值域。

二、抽象函數(shù)的值域

解決抽象函數(shù)的值域問題——由定義域與對(duì)應(yīng)法則決定。

例2若函數(shù)y=f(x+1)的值域?yàn)閇-1，1]求y=(3x+2)的值域。

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(3x+2)中的定義域與對(duì)應(yīng)法則與函數(shù)y=f(x+1)的定義域與對(duì)應(yīng)法則完全相同，故函數(shù)y=f(3x+2)的值域也為[-1，1]。

三、抽象函數(shù)的奇偶性

四、抽象函數(shù)的對(duì)稱性

例3已知函數(shù)y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱,則g(x)+g(-x)的值為（）

A、2B、0C、1D、不能確定

解析：由y=f(2x+1)求得其反函數(shù)為y=，∵y=f(2x+1)是奇函數(shù)，∴y=也是奇函數(shù)，∴?！啵?，而函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，∴g(x)+g(-x)=故選A。

五、抽象函數(shù)的周期性

例4、（2009全國(guó)卷Ⅰ理）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則()

(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)

(C)(D)是奇函數(shù)

解:∵與都是奇函數(shù)

函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D

定理1.若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽，且滿足條件f(x＋a)=f(x－b)，則y=f(x)是以T=a＋b為周期的周期函數(shù)。

定理2.若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽，且滿足條件f(x＋a)=－f(x－b)，則y=f(x)是以T=2（a＋b）為周期的周期函數(shù)。

定理3.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與x=b（a≠b)對(duì)稱，則y=f(x)是以T=2(b－a)為周期的周期函數(shù)。

定理4.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（a,0)與點(diǎn)(b,0),(a≠b)對(duì)稱，則y=f(x)是以T=2(b－a)為周期的周期函數(shù)。超級(jí)秘書網(wǎng)

定理5.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與點(diǎn)(b,0),(a≠b)對(duì)稱，則y=f(x)是以T=4(b－a)為周期的周期函數(shù)。

性質(zhì)1：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),則函數(shù)f(x)有周期2(a－b)；

性質(zhì)2：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),則函數(shù)有周期2(a－b).

特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期2a.

性質(zhì)3：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，則函數(shù)有周期4(a－b).

特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期4a。

從以上例題可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)的考查范圍很廣，能力要求較高。但只要對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)熟，掌握上述有關(guān)的結(jié)論和類型題相應(yīng)的解法，則會(huì)得心應(yīng)手。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳誠(chéng).抽象函數(shù)問題分類解析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)·，2008(8).