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參考文獻(xiàn)
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1評(píng)析
拓廣2如圖1,在凸四邊形ACBD中,對(duì)角線AB、CD交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M任作兩條直線,分別交直線AD、AC、BC、BD于E、G、F、H,EG、FH分別交AB于P、Q,記MA=a,MB=b,MP=x,MQ=y, 則1a-1b=1x-1y.
評(píng)析圖2為坎迪定理的基本圖形, 圖1、圖2的區(qū)別僅僅在于三線段AB、GH、EF的端點(diǎn)的“外包”一個(gè)是凸四邊形ACBD,一個(gè)是圓錐曲線,那么,兩者之間到底有何關(guān)系呢?這一點(diǎn),用高等幾何中的巴斯卡定理和逆定理是容易回答的.
圖1圖2注意圖1,因?yàn)榱c(diǎn)形ABHGEF的三對(duì)對(duì)邊AE、BH、AG、BF、GH、EF的交點(diǎn)D、C、M在一條直線上,故由巴斯卡定理的逆定理可知,這個(gè)六點(diǎn)形的六個(gè)頂點(diǎn)A、B、H、G、E、F在一條圓錐曲線上.要是將這條圓錐曲線畫(huà)上,那么,圖1就轉(zhuǎn)化為圖2了.由此看來(lái),拓廣2實(shí)質(zhì)上就是坎迪定理隱去了圓錐曲線,即坎迪定理本身,并不是坎迪定理在凸四邊形中的拓廣.拓廣3只不過(guò)是在拓廣1隱去了圓錐曲線的背景后的一種演化(坎迪定理更廣義的形式),并不是在凸四邊形中的引申.
2引申
在圖2中,由巴斯卡定理可知,圓錐曲線的內(nèi)接六點(diǎn)形ABHGEF的三對(duì)對(duì)邊AE、BH、AG、BF、GH、EF的交點(diǎn)C、 D、M必在一直線上(巴斯卡線),我們?nèi)舭阉倪呅蜛CBD作上(隱去圓錐曲線),那么,圖2有可能是圖1的形狀,但也有可能呈現(xiàn)別的形狀,如象圖3、圖4、圖5等等(在圖4中,AG與BF的交點(diǎn)C是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),即有AG∥BF∥DM).由圖3知,如四邊形為凹四邊形結(jié)論仍然成立,圖4、圖5又啟示我們可作出如下的引申:
參考文獻(xiàn)
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6.正文
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三、常用注釋和參考文獻(xiàn)標(biāo)注舉例:
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1、Google Scholar
Google推出的免費(fèi)學(xué)術(shù)搜索引擎,可以幫助快速尋找學(xué)術(shù)資料,如專(zhuān)家評(píng)審文獻(xiàn)、論文、書(shū)籍、預(yù)印本、摘要以及技術(shù)報(bào)告。其免費(fèi)的優(yōu)勢(shì)對(duì)那些并不富?;驔](méi)有相關(guān)學(xué)術(shù)圖書(shū)館資源的個(gè)人,意義重大。
2、SCIRUS
Scirus是目前互聯(lián)網(wǎng)上最全面、綜合性最強(qiáng)的科技文獻(xiàn)門(mén)戶(hù)網(wǎng)站之一,Scirus引擎的信息源主要是兩部分:網(wǎng)頁(yè)和期刊。Scirus覆蓋的學(xué)科范圍包括:農(nóng)業(yè)與生物學(xué),天文學(xué),生物科學(xué),化學(xué)與化工,計(jì)算機(jī)科學(xué),地球與行星科學(xué),經(jīng)濟(jì)、金融與管理科學(xué),工程、能源與技術(shù),環(huán)境科學(xué),語(yǔ)言學(xué),法學(xué),生命科學(xué),材料科學(xué),數(shù)學(xué),醫(yī)學(xué),神經(jīng)系統(tǒng)科學(xué),藥理學(xué),物理學(xué),心理學(xué),社會(huì)與行為科學(xué),社會(huì)學(xué)等。它以自身?yè)碛械馁Y源為主體,對(duì)網(wǎng)上具有科學(xué)價(jià)值的資源進(jìn)行整合,集聚了帶有科學(xué)內(nèi)容的網(wǎng)站及與科學(xué)相關(guān)的網(wǎng)頁(yè)上的科學(xué)論文、科技報(bào)告、會(huì)議論文、專(zhuān)業(yè)文獻(xiàn)、預(yù)印本等。其目的是力求在科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)做到對(duì)信息全面深入的收集,以統(tǒng)一的檢索模式面向用戶(hù)提供檢索服務(wù)。
3、Sciseek(科學(xué)探索網(wǎng))
SciSeek專(zhuān)注于科學(xué)搜索引擎與目錄,還包括一些科學(xué)雜志以及其他的工具等。
4、Find Articles(論文搜索網(wǎng))
論文搜索網(wǎng)提供多種頂極刊物的上百萬(wàn)篇論文,涵蓋藝術(shù)與娛樂(lè)、汽車(chē)、商業(yè)與經(jīng)融、計(jì)算機(jī)與技術(shù)、健康與健身、新聞與社會(huì)、科學(xué)教育、體育等各個(gè)方面的內(nèi)容。大部分為免費(fèi)全文資料,檢索操作簡(jiǎn)單。
5. Intute
由英國(guó)高等教育資助理事會(huì)下的信息系統(tǒng)聯(lián)合委員會(huì)JISC和藝術(shù)與人文研究委員會(huì)AHRC開(kāi)發(fā)建立,專(zhuān)注于教學(xué)、研究方面的網(wǎng)絡(luò)資源。所收錄的信息資源都是經(jīng)過(guò)行業(yè)專(zhuān)家選擇和評(píng)審的,從而保證了其質(zhì)量。目前數(shù)據(jù)庫(kù)信息已達(dá)120060條。Intute共設(shè)四大領(lǐng)域:科學(xué)與技術(shù)、藝術(shù)與人文、社會(huì)科學(xué)、健康與生命科學(xué)。各個(gè)領(lǐng)域下又包含諸多學(xué)科,以科學(xué)與技術(shù)類(lèi)為例,覆蓋了天文、化學(xué)、物理、工程、計(jì)算、地理、數(shù)學(xué)、地球科學(xué)、環(huán)境以及交叉學(xué)科,信息達(dá)33806條。
6、Information Bridge
Information Bridge是由美國(guó)能源部DOE下屬的科學(xué)與技術(shù)信息辦公室OSTI開(kāi)發(fā)維護(hù)的搜索工具,提供美國(guó)能源部1994年以來(lái)研究成果的全文文獻(xiàn)和目錄索引,涉及的學(xué)科領(lǐng)域包括物理、化學(xué)、材料、生物、環(huán)境科學(xué)、能源技術(shù)、工程、計(jì)算機(jī)與情報(bào)科學(xué)和可再生能源等。檢索功能有基本檢索和高級(jí)檢索兩種。
7、OAIster
OAIster是密歇根大學(xué)開(kāi)發(fā)維護(hù)的一個(gè)優(yōu)秀的開(kāi)放存取搜索引擎,收集了來(lái)自536家學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)的590萬(wàn)篇文檔,包括開(kāi)放使用期刊的文章、工作論文、討論文章、會(huì)議論文和學(xué)位論文??砂搓P(guān)鍵詞、題名、創(chuàng)作者、主題或資源類(lèi)型進(jìn)行檢索。檢索結(jié)果含資源描述和該資源鏈接。
8、Base-Search
BASE是德國(guó)比勒費(fèi)爾德(Bielefeld)大學(xué)圖書(shū)館開(kāi)發(fā)的一個(gè)多學(xué)科的學(xué)術(shù)搜索引擎,提供對(duì)全球異構(gòu)學(xué)術(shù)資源的集成檢索服務(wù)。它整合了Bielefeld大學(xué)圖書(shū)館的圖書(shū)館目錄和大約160個(gè)開(kāi)放資源(超過(guò)200萬(wàn)個(gè)文檔)的數(shù)據(jù)。
9、Vascoda
Vascoda是一個(gè)交叉學(xué)科門(mén)戶(hù)網(wǎng)站的原型,它注重特定主題的聚合,集成了圖書(shū)館的收藏、文獻(xiàn)數(shù)據(jù)庫(kù)和附加的學(xué)術(shù)內(nèi)容。
10、百度文檔搜索
Information百度文檔搜索可以查找以Word、PowerPoint、PDF等格式存在的研究報(bào)告、論文、課件等各類(lèi)文件。它支持對(duì)Office文檔包括Word、Excel、Powerpoint、Adobe PDF文檔、RTF文檔進(jìn)行了全文搜索。搜索時(shí),在檢索詞后面加一個(gè)“filetype:”來(lái)限定文檔類(lèi)型?!癴iletype:”后面可以跟以下文件格式:DOC、XLS、PPT、PDF、RTF、ALL。其中,ALL表示搜索所有這些文件類(lèi)型。在搜索結(jié)果頁(yè)面,點(diǎn)擊結(jié)果標(biāo)題,可以直接下載該文檔,也可以點(diǎn)擊標(biāo)題后的“html版”快速查看該文檔的網(wǎng)頁(yè)格式內(nèi)容。
11、百度國(guó)學(xué)
百度國(guó)學(xué)目前能提供上起先秦、下至清末歷代文化典籍的檢索和閱讀。內(nèi)容涉及經(jīng)、史、子、集各部。
這個(gè)問(wèn)題到了數(shù)學(xué)家手里,就變成著名的四色猜想(也稱(chēng)四色問(wèn)題)。數(shù)學(xué)家從節(jié)約的角度考慮,任何地圖,使得相鄰的地區(qū)涂上不同的顏色,至少得用多少種顏色呢?四色問(wèn)題或者四色猜想的結(jié)論是:四色足夠!
百年拼搏史
說(shuō)起來(lái),這個(gè)問(wèn)題可能有許多人發(fā)現(xiàn)過(guò),但是第一個(gè)明確記錄在案的是剛從倫敦大學(xué)畢業(yè)不久的英國(guó)青年弗蘭西斯?葛斯瑞。1852年,他給一張英國(guó)地圖著色時(shí)發(fā)現(xiàn),四種顏色足夠。他于是猜想對(duì)任何地圖也是如此。他把這個(gè)想法告訴正在倫敦大學(xué)學(xué)習(xí)的弟弟弗雷德里克,他弟弟當(dāng)然解決不了這個(gè)問(wèn)題,于是向他的老師、著名數(shù)學(xué)家德?摩爾根請(qǐng)教,他也不能解決這個(gè)問(wèn)題,便于1852年lO月23日寫(xiě)信給當(dāng)時(shí)最偉大的科學(xué)家哈密頓,這成為四色問(wèn)題第一個(gè)人歷史文獻(xiàn)。不過(guò),哈密頓對(duì)這類(lèi)好像數(shù)學(xué)游戲的問(wèn)題不太感興趣,德?摩爾根于是繼續(xù)宣傳,直到另一位英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊于1878年在皇家學(xué)會(huì)上正式提出并在《皇家地理學(xué)會(huì)會(huì)報(bào)》上發(fā)表,這才引起人們對(duì)四色問(wèn)題的廣泛重視。各國(guó)數(shù)學(xué)中心和數(shù)學(xué)雜志都收到大量的錯(cuò)誤證明,就如同以后的費(fèi)馬大定理和哥德巴赫猜想一樣。
正如許多這類(lèi)提法簡(jiǎn)單而證明極為困難的大猜想一樣,大量的“證明”完全離譜,但也有的包含可貴的思想,當(dāng)然這些思想只能來(lái)自有數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人。1879年,劍橋大學(xué)三一學(xué)院數(shù)學(xué)畢業(yè)生肯普先在《自然》雜志,后在《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表四色猜想的證明。然而到1890年,一位大學(xué)數(shù)學(xué)講師希伍德指出肯普的“證明”中有一個(gè)漏洞,然后,他應(yīng)用肯普的方法給出一個(gè)定理――五色定理,也就是五色足夠。盡管四色定理沒(méi)有得到證明,肯普和希伍德對(duì)于后來(lái)圖論的發(fā)展都作出決定性的貢獻(xiàn)。一位圖論大師說(shuō)道,1890年四色問(wèn)題的研究主要沿著兩條道路發(fā)展:一條是定性的,主要是肯普發(fā)明的“鏈”方法,一條是定量的,主要是希伍德的方法,其思想基礎(chǔ)是尋找一個(gè)極小的反例。開(kāi)始的作法是對(duì)于區(qū)域數(shù)目很少的地圖證明四色定理,由于區(qū)域數(shù)越多,可能的構(gòu)形數(shù)目也越多,因此到1976年,雖然區(qū)域數(shù)接近100個(gè),但這個(gè)問(wèn)題還差得很遠(yuǎn)。
計(jì)算機(jī)的參與
要想完整地證明四色定理,還是需要在概念上下工夫,特別是要尋找可約化的構(gòu)形,也就是把區(qū)域數(shù)多的問(wèn)題簡(jiǎn)化為區(qū)域數(shù)少的情形。20世紀(jì)60年代、70年代當(dāng)時(shí)估計(jì)這種構(gòu)形有8000到10000個(gè),這用計(jì)算機(jī)也辦不到。后來(lái)阿沛爾及哈肯用計(jì)算機(jī)搜索,發(fā)現(xiàn)只有不到2000個(gè),從而完成了全部的證明。它用了1200小時(shí)的機(jī)時(shí),相當(dāng)于計(jì)算機(jī)連續(xù)算50個(gè)晝夜。這成為第一個(gè)用計(jì)算機(jī)證明的大定理。芝加哥的郵局信封上也印有“四色足夠”的字樣。它轟動(dòng)了整個(gè)世界。但是數(shù)學(xué)界對(duì)此并不放心,于是阿沛爾和哈肯又進(jìn)行了系統(tǒng)的檢查,的確發(fā)現(xiàn)并糾正了一些小的錯(cuò)誤,并在1989年發(fā)表修正后的論文。
但是,這仍然不能平息人們的疑慮,另一組數(shù)學(xué)家企圖通過(guò)手寫(xiě)來(lái)證明,但是,沒(méi)有成功。他們的貢獻(xiàn)在于使用的可約化構(gòu)形數(shù)目大大減少了,減少到633種構(gòu)形。整個(gè)證明簡(jiǎn)單,而且容易復(fù)核,雖然仍需計(jì)算機(jī)幫助,但再次肯定四色猜想的確成為定理。
幾點(diǎn)啟示
首先,雖然迄今為止,四色猜想仍是電腦證明數(shù)學(xué)難題絕無(wú)僅有的一例,但它昭示了“機(jī)器證明”時(shí)代的到來(lái)。它可能開(kāi)辟了人與機(jī)器合作去解決問(wèn)題的新途徑,成為數(shù)學(xué)上一系列新思維的起點(diǎn)。
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