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60年代以來(lái)應(yīng)用題教學(xué)的地位在德國(guó)經(jīng)歷了一場(chǎng)戲劇性的變化。1970年—1976年由于皮亞杰理論的影響，應(yīng)用題地位迅速下降，處于從屬地位，而計(jì)算題則處于主要地位，這一階段人們稱之謂“小學(xué)數(shù)學(xué)教育起了根本的變化”。1976年開始，由于家長(zhǎng)的憤怒與教學(xué)實(shí)踐中產(chǎn)生的實(shí)際情況，迫使他們對(duì)數(shù)學(xué)教育進(jìn)行新的權(quán)衡，天平又回復(fù)了。促進(jìn)思維與技算技能被看得同等重要，應(yīng)用題又顯得重要了。人們認(rèn)為，經(jīng)過(guò)改革后的應(yīng)用題教學(xué)既能鍛煉理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力，又能鍛煉計(jì)算技能。

經(jīng)過(guò)多年的討論，他們認(rèn)為應(yīng)用題教學(xué)的目的是：

1．培養(yǎng)兒童從周圍客觀環(huán)境事物中抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)系的能力。

2．培養(yǎng)兒童的計(jì)算技能，并使他們能正確地運(yùn)用四則運(yùn)算解決問(wèn)題。

3．應(yīng)用題中涉及的具體知識(shí)可以深化學(xué)生對(duì)某一專門領(lǐng)域的了解，使專業(yè)知識(shí)得到發(fā)展。

4．通過(guò)解題可以訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生的思維，更重要的是還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，達(dá)到提高學(xué)生解決問(wèn)題和創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力。

德國(guó)當(dāng)前的應(yīng)用題教學(xué)（即改革后的應(yīng)用題教學(xué)）強(qiáng)調(diào)，所教的內(nèi)容應(yīng)該取自于孩子們周圍環(huán)境中的實(shí)際問(wèn)題。他們認(rèn)為：在小學(xué)里，兒童學(xué)習(xí)如何通過(guò)數(shù)的幫助，來(lái)了解周圍世界的真相，是一個(gè)很重要的方面。所以培養(yǎng)兒童運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)掌握某一周圍世界情況的能力是至關(guān)重要的。現(xiàn)實(shí)生活中，在對(duì)某一問(wèn)題考慮出一個(gè)可能的解決方法之前，很少會(huì)有一切必不可少的事項(xiàng)、數(shù)據(jù)、陳述、關(guān)系都已在手頭齊全了，首先必須對(duì)之加以搜集、挑選、整理、比較，然后才是提出問(wèn)題，接著是尋求解決方法，最后是得出答案。而在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題課里，這些必不可少的數(shù)據(jù)、信息大多是以文字形式給出的。所以也有人說(shuō)，這些應(yīng)用題相對(duì)于大家所重視的真正實(shí)際問(wèn)題的解決來(lái)說(shuō)，只是一些“冒牌應(yīng)用題”。

作為改進(jìn)，他們對(duì)應(yīng)用題的設(shè)計(jì)作了帶有方向性的改革：

1．在應(yīng)用題的設(shè)計(jì)上留出讓學(xué)生自己補(bǔ)充、搜集信息的余地，使學(xué)生能夠自己搜集有關(guān)的信息并進(jìn)行選擇。

例如：20馬克可以買多少千克桔子？

這種題按傳統(tǒng)觀點(diǎn)是無(wú)法解的，是條件不全的題?，F(xiàn)在學(xué)生要完成這個(gè)題，首先必須到學(xué)校或家庭附近的商店或超級(jí)市場(chǎng)去搜集桔子的價(jià)格信息，然后挑選自己喜歡的品種，算出千克數(shù)；或挑選價(jià)格最便宜的和價(jià)格最貴的，再算出可買桔子的千克數(shù)范圍。1984年與1989年筆者兩次在德國(guó)巴伐利亞州考察進(jìn)修時(shí)，發(fā)現(xiàn)師生都對(duì)這一類題很感興趣。有關(guān)教研機(jī)構(gòu)也覺得這類題很有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

2．應(yīng)用題不設(shè)問(wèn)，讓孩子們自己去尋找計(jì)算性的設(shè)問(wèn)。

例1烏特買了8只檸檬，她用一枚5馬克的硬幣去付款，找回了3馬克。

例2瑪麗亞在奶酪攤上幫助她的姑姑。上星期她幫了20小時(shí)，得到工資140馬克。這個(gè)星期她幫了25小時(shí)。

教師可以從學(xué)生的設(shè)問(wèn)中看出學(xué)生對(duì)信息的理解程度和處理能力。像例2這種題可以設(shè)不止一個(gè)問(wèn)，尤能看出學(xué)生對(duì)信息搜集和處理能力。

有的題甚至沒有文字說(shuō)明，只有圖。要求學(xué)生從圖中搜集信息，提出問(wèn)題（如下圖）。

（附圖{圖}）

3．為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)考慮到讓學(xué)生從不同的角度出發(fā)進(jìn)行發(fā)散思維，探求不同的答案。

例：父親買玻璃杯（下圖）。他用3張10馬克的紙幣付款，收回了6馬克的找頭。

（附圖{圖}）

這一類題一般有不止一個(gè)的答案，要鼓勵(lì)學(xué)生去尋找不同的答案，答案越多越好。《教學(xué)參考書》指出，“當(dāng)然不是要求所有的學(xué)生都找出所有的答案，重要的是，學(xué)生都要有興趣去尋找多個(gè)答案。”教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)嘗試制表法來(lái)尋求各種答案?，F(xiàn)介紹如下。

分析與解題過(guò)程（摘自教師用書）：

從圖片中可以觀察到杯子有三種價(jià)格：2馬克、4馬克、8馬克。

先計(jì)算父親付了多少錢：30－6＝24（馬克）

（1）當(dāng)他只買一種杯子時(shí)，有下列幾種可能：

每只8馬克的24÷8＝3（只杯子）

每只4馬克的24÷4＝6（只杯子）

每只2馬克的24÷2＝12（只杯子）

（2）當(dāng)他買了兩種杯子時(shí)，就成了丟番圖問(wèn)題，有三種情況：

①x·8＋y·4＝24

②x·8＋y·2＝24

③x·4＋y·2＝24

當(dāng)x或y為零時(shí)，就是（1）中所述的情況。

小學(xué)二年級(jí)的學(xué)生是通過(guò)嘗試法或制表格來(lái)尋得下列答案的：

①（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）

②（0，12），（1，8），（2，4），（3，0）

③（0，12），（1，10），（2，8），（3，6），（4，4），（5，2），（6，0）

嘗試或制表格的策略是：第一種杯子的數(shù)目從零開始逐次上升，在上升過(guò)程中，每當(dāng)?shù)谝环N杯子數(shù)目被確定，就相應(yīng)地求出第二種杯子的數(shù)目。

（3）當(dāng)他買三種杯子時(shí)，就出現(xiàn)了一個(gè)三變量的丟番圖方程：x·8＋y·4＋z·2＝24

可以將x、y、z為零的情況除外，以免重復(fù)（1）與（2）。

同樣可通過(guò)嘗試或制表格來(lái)解決，策略是第一種杯子數(shù)目從1開始上升，當(dāng)?shù)谝环N杯子數(shù)目取定，第二種杯子數(shù)目也從1開始上升，這時(shí)第三種杯子的數(shù)目就能確定了。